FillTheHoleInWall

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{3x-y}{x^2+y^2}=3 & & \\ y-\frac{x+3y}{x^2+y^2}=0 & & \end{matrix}\right.$

Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 lập đc bao nhiêu số có 5 chữ số không cần phân biệt và chia hết cho 3

P/s: sử dụng cách đơn giản nhé (nếu có thể)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                       KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

       QUẢNG TRỊ                                                               Ngày 18 / 6 / 2013

                                                                                      MÔN : TOÁN CHUYÊN

                                                                                         TG : 150 phút

     Câu I ( 2.5 điểm )

      1. CHo biểu thức $P=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+2}-1$

      a ) Rút Gọn 

      b) Tìm a nguyên để biểu thức P nguyên

    2. Hãy tính $A=2x^3+2x^2+1$ với $x= \frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}-1)$

  Câu II  (1.5 điểm)

   Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác 0 thoã mãn $a+b+2c=0$

  CMR pt $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt và có ít nhất 1 nghiệm dương

  Câu III (1.5 điểm )

  Giải phương trình $x^2-7x+2+2\sqrt{3x+1}=0$

  Câu IV (1.5 điểm)

   Tìm nghiệm nguyên pt

                         $x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0$

   Câu V 

   1. Cho $(O;R)$ với dây cung $BC$ cố định  $(BC<2R)$ và điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn . Gọi $H$ là trực tâm với $A',B',C'$ là các chân đường cao tương ứng 

    a) CM  $OA$ vuông góc $B'C'$

    b) CM $BA.BH = 2R.BA'$ . Từ đó suy ra tổng $BA . BH + CA . CH $ không đổi

  2. Cho tam giác $ABC$ nhọn $\widehat{A}=30^{\circ}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ và $M,N$ lần lượt là các điểm trên 2 cạnh $AB.AC$ . Tìm vị trí $M,N$ để tam giác $HMN$ có chu vi nhỏ nhất

BÀI 1: Thầy coi giúp em sai chổ nào với

a)ĐKXĐ $\left\{\begin{matrix} x>0 & & \\ x\neq 1& & \end{matrix}\right.$

$P=\frac{(x-2\sqrt{x}+1)-(x+2\sqrt{x}+1)}{x-1}.(\frac{1-x}{2\sqrt{x}})^2$

    $=\frac{-4\sqrt{x}}{x-1}.\frac{(x-1)^2}{4x}$

    $=\frac{-(x-1)}{\sqrt{x}}$

    $=\frac{1-x}{\sqrt{x}}$

Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a^{2}}{b+2}+\frac{b^{2}}{c+2}+\frac{c^{2}}{a+2}\geqslant 1$

Áp dụng BĐT Schwars

Ta có

$\frac{a^2}{b+2}+\frac{b^2}{c+2}+\frac{c^2}{a+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+6}=1(dpcm)$

Giải pt  $\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=\frac{3}{4}$

có vô số nghiệm
$(x,y,z)=(a,-a,0),(0,a,-a),(-a,0,a)$$a\in \mathbb{Z}$
còn nghiệm khác hay ko thì mình chưa tính

Cách khác câu 5:
(Các bạn xem giúp đúng không nhé)
Ta CM
$\frac{x}{1+y+xz}\leq \frac{1}{x+y+z}$
$x(x+y+z)\leq 1+y+xz$ (đúng)($0\leq x,y,z\leq 1$)
tương tự,rồi cộng vế theo vế
xảy ra dấu "="
$\Rightarrow x^2+xy+xz=1+y+xz$
$\Rightarrow x^2+xy=1+y$
đồng nhất $\Rightarrow x=1$
tương tự $x=y=z=1$

Đơn giản thôi
Vì 1 Góc ngoài của 1 tam giác thì bằng tổng 2 góc trong không kề với nó
$\Rightarrow$ tổng 3 góc ngoài 3 đỉnh thì bằng 2 lần tổng các góc trong $\Rightarrow$ bằng $2\times 180= 360$

Bài giải :
1) $x^4+x^3-x^2-2x-2=x^4-2x^2+x^3-2x+x^2-2=(x^2-2)(x^2+x+1)$
2) $x^2+4y^2+2x-4y-4xy-35=(x^2+4y^2+1+2x-4y-4xy)-36=(x-y+1)^2-6^2=(x-y+7)(x-y-5)$
3) $(2ab+5c)^2+(ac-10b)^2=4a^2b^2+25c^2+20abc+a^2c^2+100b^2-20abc=(4a^2b^2+100b^2)+(a^2c^2+25c^2)=4b^2(a^2+25)+c^2(a^2+25)=(a^2+25)(4b^2+c^2)$

Đây là bài giải :
Ta có
$a^4+6a^3+11a^2+30a-24=a^4+6a^3+11a^2+6a+24a-24 =(a^4+6a^3+11a^2+6a)+24(a-1)=a(a+1)(a+2)(a+3)+24(a-1)$
Vì $a(a+1)(a+2)(a+3)$ là tích 4 số nguyên liên tiếp nên có
1 số chia hết cho 2
1 số chia hết cho 4
1 số chia hết cho 3
$\Rightarrow a(a+1)(a+2)(a+3)\vdots (2\times 4\times 3)=24$
Mà $24(a-1)\vdots 24$
$\Rightarrow a(a+1)(a+2)(a+3)+24(a-1)\vdots 24(dpcm)$

Đây là bài giải của mình :
Đặt $\left ( m,n \right )=d $(d\geq 1)$ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d& & \\ n\vdots d& & \end{matrix}\right.\Rightarrow m+n\vdots d\Rightarrow \left ( m+n \right )^{2}\vdots d^{2}$ (1)
Ta có
A=$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{m^{2}+m+n^{2}+n}{mn}=\frac{(m+n)^{2}+(m+n)-2mn}{mn}$
Vì $A\in Z$
$\Rightarrow (m+n)^2+(m+n)-2mn \vdots mn \Rightarrow m+n\vdots mn (1)$
Vì $\left\{\begin{matrix} m\vdots d & & \\ n\vdots d& & \end{matrix}\right.\Rightarrow mn\vdots d^{2}$
$\Rightarrow m+n\vdots d^{2}\Rightarrow m+n\geq d^{2}\Leftrightarrow \sqrt{m+n}\geq d(dpcm)$