htduongqt

$y=f(x)$ liên tục trên $\left [ 0;1 \right ]$ thỏa mãn $xf'(x)+2f(1-x)=\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}$ và $f(1)=1$

Tính $\int_{0}^{1}f(x)dx$

Giải: 

Đặt $I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}$

- Dùng tích phân từng phần ta tính được:

$I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\left. x.f(x) \right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{x.f'(x)dx}=1-\int_{0}^{1}{x.f'(x)dx}\,\,\,(A)$

- Đổi biến bằng cách đặt $t=1-x$ ta được

$I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}=-\int_{1}^{0}{f(1-t)dt}=\int_{0}^{1}{f(1-t)dt=\int_{0}^{1}{f(1-x)dx\,\,(B)}}$

Lấy $2(B)-(A)=I=\int_{0}^{1}{\left[ x.f'(x)+f(1-x) \right]}dx-1=\int_{0}^{1}{\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}}dx-1$

Đến đây tự làm nhé (bằng cách nhân lượng liên hợp cho mẫu)

 

Bạn có thể viết lại ko? Bị lỗi rồi...

Không biết vì sao bị lỗi

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\begin{bmatrix} 0; \frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ Biết $f'(x)cosx + f(x)sinx = 1$ $\forall x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ và $f(0)=1$ Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}f(x)dx$

A. $I=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$

B. $I= \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

C. $I= \frac{2-\sqrt{3}}{2}$

D. $I=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

 

Ở bài này mình đã tính được ra $f(\frac{\pi}{6})=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ xong là bí luôn. Ko nghĩ ra được hướng gì để biến đổi nữa. Nhưng cái biểu thức đó là $f(x)$ không phải $f'(x)$ nên làm hoài cũng chẳng được @@

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\begin{bmatrix} 0; \frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ Biết $f'(x)cosx + f(x)sinx = 1$ $\forall x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ và $f(0)=1$ Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}f(x)dx$

A. $I=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$

B. $I= \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

C. $I= \frac{2-\sqrt{3}}{2}$

D. $I=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

 

Ở bài này mình đã tính được ra $f(\frac{\pi}{6})=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ xong là bí luôn. Ko nghĩ ra được hướng gì để biến đổi nữa. Nhưng cái biểu thức đó là $f(x)$ không phải $f'(x)$ nên làm hoài cũng chẳng được @@

Đây nè: $f'(x).co\,sx+f(x).\sin x=1$Trên $\left[ 0;\frac{\pi }{6} \right],\,\,\cos x\ne 0$ nên

\[f'(x).co\,sx+f(x).\sin x=1\]

\[\Leftrightarrow \frac{f'(x).co\,sx+f(x).\sin x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

 

 

\[\Leftrightarrow \frac{f(t)}{\cos t}-1=\tan t\Leftrightarrow f(t)=\cos t+\sin t\]

Hay $f(x)=\sin \,x+\cos x\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f(x)dx=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.}$ .