$y=f(x)$ liên tục trên $\left [ 0;1 \right ]$ thỏa mãn $xf'(x)+2f(1-x)=\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}$ và $f(1)=1$
Tính $\int_{0}^{1}f(x)dx$
Giải:
Đặt $I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}$
- Dùng tích phân từng phần ta tính được:
$I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\left. x.f(x) \right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{x.f'(x)dx}=1-\int_{0}^{1}{x.f'(x)dx}\,\,\,(A)$
- Đổi biến bằng cách đặt $t=1-x$ ta được
$I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}=-\int_{1}^{0}{f(1-t)dt}=\int_{0}^{1}{f(1-t)dt=\int_{0}^{1}{f(1-x)dx\,\,(B)}}$
Lấy $2(B)-(A)=I=\int_{0}^{1}{\left[ x.f'(x)+f(1-x) \right]}dx-1=\int_{0}^{1}{\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}}dx-1$
Đến đây tự làm nhé (bằng cách nhân lượng liên hợp cho mẫu)
htduongqt
Thống kê
- Nhóm: Thành viên
- Bài viết: 3
- Lượt xem: 815
- Danh hiệu: Lính mới
- Tuổi: Chưa nhập tuổi
- Ngày sinh: Chưa nhập ngày sinh
-
Giới tính
Bí mật
Công cụ người dùng
Bạn bè
htduongqt Chưa có ai trong danh sách bạn bè.
Lần ghé thăm cuối
Trong chủ đề: $xf'(x)+2f(1-x)=\frac{x}{1+\sqrt{1...
22-05-2018 - 21:50
Trong chủ đề: Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{...
13-05-2018 - 20:06
Bạn có thể viết lại ko? Bị lỗi rồi...
Không biết vì sao bị lỗi
Trong chủ đề: Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{...
13-05-2018 - 19:52
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\begin{bmatrix} 0; \frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ Biết $f'(x)cosx + f(x)sinx = 1$ $\forall x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ và $f(0)=1$ Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}f(x)dx$
A. $I=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$
B. $I= \frac{3-\sqrt{3}}{2}$
C. $I= \frac{2-\sqrt{3}}{2}$
D. $I=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
Ở bài này mình đã tính được ra $f(\frac{\pi}{6})=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ xong là bí luôn. Ko nghĩ ra được hướng gì để biến đổi nữa. Nhưng cái biểu thức đó là $f(x)$ không phải $f'(x)$ nên làm hoài cũng chẳng được @@
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\begin{bmatrix} 0; \frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ Biết $f'(x)cosx + f(x)sinx = 1$ $\forall x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ và $f(0)=1$ Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}f(x)dx$
A. $I=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$
B. $I= \frac{3-\sqrt{3}}{2}$
C. $I= \frac{2-\sqrt{3}}{2}$
D. $I=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
Ở bài này mình đã tính được ra $f(\frac{\pi}{6})=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ xong là bí luôn. Ko nghĩ ra được hướng gì để biến đổi nữa. Nhưng cái biểu thức đó là $f(x)$ không phải $f'(x)$ nên làm hoài cũng chẳng được @@
Đây nè: $f'(x).co\,sx+f(x).\sin x=1$Trên $\left[ 0;\frac{\pi }{6} \right],\,\,\cos x\ne 0$ nên
\[f'(x).co\,sx+f(x).\sin x=1\]
\[\Leftrightarrow \frac{f'(x).co\,sx+f(x).\sin x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]
\[\Leftrightarrow \frac{f(t)}{\cos t}-1=\tan t\Leftrightarrow f(t)=\cos t+\sin t\]
Hay $f(x)=\sin \,x+\cos x\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f(x)dx=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.}$ .
- Diễn đàn Toán học
- → Đang xem trang cá nhân: Bài viết: htduongqt