Kienlai

Bài 1:( bài 2 tương tự)
Do a,b,c là chiều dài 3 cạnh tam giác
$$\Rightarrow a< b+c$$
$$b< a+c$$
$$c< a+b$$
$$\Rightarrow a^{2}< a(b+c)$$
$$b^{2}< b(a+c)$$
$$c^{2}< c(a+b)$$
Cộng từng vế ta có bất dẳng thức cần chứng minh

Xem lại đề bạn ơi F là trung điểm của AC mà chứng minh DF vuông góc với CE>>>>>Vô lý wa trời luôn

Cách đầu tiên nếu chứ quen thì nên xác định rõ nhưng phần nào cố định, phần nào di chuyển. Muốn chứng minh phẩn di chuyển cần bám sát vào các phần đã cố định, hoặc xây dựng các đt hay điểm cố định dựa vào phần cố định có sẵn.

Tìm hiểu bài toán:
-Yếu tố cố định (điểm đường thẳng) hầu hết ở đề bài
-Yếu tố di chuyển
-Yếu tố không đổi (độ dài đoạn, số đo góc)
-Quan hệ không đỏi ( song song, vuông góc..)

Dự đoán điểm cố định- nên chọn một số t/h đặc biệt rồi tìm ra điểm chung hay một số điểm đối xứng qua các quan hệ không đổi đã nêu ..
(Việc này nghe hơi ảo nhưng rất cần thiết...)
Cho nên em nên làm mấy ví dụ cho quen:(dễ lắm)
1. Cho (O;R) và dây AB thuộc đường tròn đó. C di chuyển trên đường tròn ( C thuộc cungAB lớn), M là trung điểm của AC. CM đương thẳng qua M vuông góc vs BC luôn đi qua 1 điểm cố định.
2.Cho (O) và đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn. Lấy I di động trên (d). Đường tròn đg kính OI cắt (O) tại M,N, Chứng minh đường tròn này đi qua điểm cđ khác O và MN đi qua 1 điểm cố định..
( gợi ý: Do tính chất đối xứng trục nên điểm cố định nằm trên trục đối xúnghay đường thẳng qua O và vuông góc vs d)

b)
Ta có BĐT chứng minh tương đương với:

$$(sinA+sinB+sinC)^{2}\leq \frac{15}{4}+cos(A-B)+cos(B-C)+cos(C-A)$$
$$\Leftrightarrow cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C+(cosAcosB-sinAsinB)+(cosBcosC-sinBsinC)+(cosCcosA-sinCsinA)+\frac{3}{4}\geq 0$$ (1)
ở đây ta sử dụng : công thức hạ bậc $$sin^{2}A=\frac{1}{2}(1-cos2A)$$

$$cos^{2}A=\frac{1}{2}(1+cos2A)$$

(1) $$\Leftrightarrow cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C+cos(A+B)+cos(B+C)+cos(C+A)+\frac{3}{4}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C-(cosA+cosB+cosC)+\frac{3}{4}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (cosA-\frac{1}{2})^{2}+(cosC-\frac{1}{2})^{2}+(cosB-\frac{1}{2})^{2}\geq 0$$ (luôn đúng)
ĐCCM

Em gõ nhầm 4 thành

Ta chứng minh 1 BĐT chặt hơn là $p^2 \le \frac{(4R+r)^2}{3}$
Ký hiệu $r_{a};r_{b};r_{c}$ là bán kính các đường tròn bàng tiếp tam giác ABC.Dễ dàng có các hệ thức sau:

• $r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=p^2$
• $r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r$

Theo AM-GM:
$$(r_{a}+r_{b}+r_{c})^2 \ge 3\sum_{cyc}r_{a}r_{b} \iff p^2 \le \frac{(4R+r)^2}{3}$$
Xong.

P/s:Cái bài b bạn làm ơn xem lại giùm đề

SR, em gõ nhầm 14 thành a