Tìm kiếm
Nam
Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow R$
$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$
Theo CM của @Daicagiangho1998, mình trình bày gọn lại cho mọi người dễ hiểu hơn, và sửa lại sai sót của phần cuối cùng như sau :
$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1,\ \forall x,y$ (1)
Đặt $f(0)=a\in\mathbb{R}$
(1) $\overset{x=y=0}{\Rightarrow} f(a)=a+1$
(1) $\overset{x=0,y=-a}{\Rightarrow}a=f(-a)+1\ \Rightarrow f(-a)=a-1$
(1) $\overset{x=a,y=0}{\Rightarrow}f[f(a)]=a+1+a^2-a+1\ \Rightarrow f(a+1)=a^2+2$
(1) $\overset{x=0,y=1}{\Rightarrow}f(a+1)=f(1)+1\ \Rightarrow f(1)=a^2+1$ (*)
(1) $\overset{x=a,y=-a}{\Rightarrow}f(1)=a+a(a-1)+a^2-a+1\ \Rightarrow f(1)=2a^2-a+1$ (**)
Từ (*)(**) $\Rightarrow a^2-a=0\ \Rightarrow a=0$ hoặc $a=1$.
$\boxed{}\ \underline{TH\ :\ a=0} :$ $1=a+1=f(a)=f(-a)=a-1=-1$ ! (Vô lý)
$\boxed{}\ \underline{TH\ :\ a=1} :$ $f(0)=1;\ f(1)=2$
(1) $\overset{x=0}{\Rightarrow} f(y+1)=f(y)+1,\ \forall y$ $\Rightarrow f(y+1)-f(y)=1,\ \forall y$ (2)
(1) $\overset{x=1}{\Rightarrow} f(y+2)=f(y+1)+f(y)-y,\ \forall y$ $\Rightarrow f(y)-y=f(y+2)-f(y+1)\overset{(2)}{=}1,\ \forall y$
Vậy : $f(x)=x+1,\ \forall x$.
