Tìm kiếm
Nam
Bài làm :Cho $\triangle ABC$ vuông tại A. Đường cao AH. Gọi I, K, Q lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của $\triangle ABH, \triangle ACH, \triangle ABC$
1) Chứng minh $\triangle ABC$ ~ $\triangle HIK$
2) Chứng minh $AQ \perp IK$
Toán thủ ra đề
LuongDucTuanDat
a .
--- Bô đề phụ :
Cho $\Delta ABC$ ~ $\Delta A'B'C $
$I$ và $I'$ Lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC , \Delta A'B'C'$
Thì $\frac{AI}{A'I'} =\frac{AB}{A'B'} =\frac{BC}{B'C'} =\frac{CA}{C'A'}$
C/m :
Dễ dàng c/m $\Delta AIB$ ~ $\Delta A'IB'$
$\Rightarrow \frac{AI}{A'I'} =\frac{AB}{A'B'} =\frac{BC}{B'C'} =\frac{CA}{C'A'}$
Bổ đề hoàn toàn dc giải quyết ~!
----Quay Trở lại bài toán :
a,
Dễ dàng c/m $\Delta BHA$ ~ $\Delta AHC $
Áp dụng bổ đề $\Rightarrow \frac{HI}{HG} =\frac{BA}{AC} (1) $
Mặt khác :
$HI$ là phân giác $\angle BHA $
$HK$ là phân giác $\angle AHC$
$\Rightarrow \angle HIK =90^o =\angle ABC (2)$
Xét \Delta ABC và \Delta HIK có :
(1) và (2) $\Rightarrow \Delta ABC$ ~ $\Delta HIK$
b,
Gọi giao điểm của CK và BI với AI và AK lần lượt là X , Y
Ta có : $\angle AIX =\angle IBA +\angle IAB = \frac{\angle ABH}{2} +\frac{\angle BAH}{2} =45^0$
$\angle AKX =\angle KAC +\angle KCA = \frac{\angle ACH}{2} +\frac{\angle CAH}{2} =45^0$
Mà $\angle IAK =\frac{\angle BAH +\angle HAC}{2} =45^o$
$\Rightarrow \Delta IYA$ và $\Delta KXA$ là 2 tam giác vuông cân
$\Rightarrow IY \perp AK$ và $KX \perp IA$
$\Rightarrow Q$ là trực tâm $\Delta IAK$
$\Rightarrow AQ \perp IK$ (DPCM)
