Đến nội dung

BlackBot

BlackBot

Đăng ký: 28-10-2012
Offline Đăng nhập: 30-11-2012 - 20:56
-----

#365494 Cm : HD.HB = HE.HC

Gửi bởi BlackBot trong 28-10-2012 - 10:51

Hoan hô tinh thần học hỏi của bạn. Có ngay có ngay
Bài toán:
Cho tam giác $ABC$ nhọn.3 đường ca0 của tam giác là $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$.Chứng minh:
a)$AH.AD+BH.BE+CH.CF=\frac{1}{2}(AB^2+BC^2+CA^2)$
b)$AH+BH+CH\leq \sqrt{AB^2+BC^2+CA^2}$

Thanks Bạn .Mình làm thử :
a, $PT \Leftrightarrow 2AH.AD +2BH,BE +2CH.CF =AB^2 +BC^2 +CA^2 $
Mà $AH.AD +BH.BE =AF.AB +BF.BA =BA^2$
Tương tự $\Rightarrow DPCM$


#365476 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Chu Văn An Năm 2012 - 2013

Gửi bởi BlackBot trong 28-10-2012 - 09:54

Bài 2:
a, Giải phương trình : $\sqrt{2x^2 + 8x + 12} + \sqrt{3x^2+12x+13} = 3$


$\sqrt{2x^2 + 8x + 12} + \sqrt{3x^2+12x+13} =\sqrt{2(x+2)^2 +4} +\sqrt{3(x+2)^2 +1} \geq \sqrt{4} +\sqrt{1} =3$
Dấu $=$ xảy ra khi $x=-2$ và đó cũng là đấu $=$ của phương trình


#365475 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Chu Văn An Năm 2012 - 2013

Gửi bởi BlackBot trong 28-10-2012 - 09:52

Bài 2:
a, Giải phương trình : $\sqrt{2x^2 + 8x + 12} + \sqrt{3x^2+12x+13} = 3$
b, Giải ptnn: $x^2 + x - y^2 = 0$ với $y \neq 0 $

Bài 3: Cho $a,b,c > 0$, chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$


Bài 3 Nesbit bạn có thể tham khảo ở đây http://vi.wikipedia....ng_thức_Nesbitt
Bài 2:
b,$x^2 +x -y^2 =0 \Rightarrow x(x+1) =y^2 \Rightarrow x=0 \Rightarrow y=0$ vì x,y nguyên .


#365469 Đề thi HSG 12 tỉnh Bình Định năm 2013

Gửi bởi BlackBot trong 28-10-2012 - 09:40

2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c(b+c)} + \frac{bc}{a(c+a)} + \frac{ca}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.

Cách khác :
Sử dụng BDT B.C.S :
$\frac{a^2b^2}{abc(b+c)} + \frac{b^2c^2}{abc(c+a)} + \frac{c^2a^2}{acb(a+b)} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc(a+b+c)} \geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 +2abc(a+b+c) \geq 3abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Mà $a^2b^2 +b^2c^2 \geq 2ab^2c$
Tương tự và cộng vào ta có :$a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 \geq abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Vậy bài toán hoàn toàn chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$