cuong148

Cho đa thức $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ bậc n và $a_{n}> 0$. Biết rằng các đa thức $P(x)$ và $P(P(x))$ Có chính xác n nghiệm thực. Chứng minh rằng đa thức $P(P(P(x)))$ cũng có chính xác n nghiệm thực.

Uh thì phải viết ra mới biết đúng sai được chứ

Ngại viết lắm. .để thầy cô chấm đi. .Hi vọng mình gặp nhau ở ĐN
P/s:em cứ quen anh là bằng tuổi rổi.Xưng hô có chỗ nào không phải mong anh bỏ qua.

Em còn một số khái niệm còn chưa vỡ trong đại số tuyến tính, mọi người giúp em một số khái niệm mới mà chỉ có trong khi thi olympic mới có ví dụ: vết của ma trận, ma trận lũy linh và các tính chất... các khái niệm tam giác hóa ma trận...em còn chưa hiểu, mong mọi người chỉ giáo, giúp em kèm theo vài ví dụ nhé!
Em cảm ơn!

Mình cũng không rõ lắm về tam giác hóa.@@.

Thế tổng cộng làm được mấy câu hả em? So với các bạn thi cùng thì thế nào?

Làm được 5/6.Bỏ câu 5.@@.Hi vọng đúng 5 câu còn lại..Hi vọng là được đi ĐN..Có biết gì về bọn kia đâu.@@

Đề thi ĐS ĐHSP 2013. .mọi người tham khảo nhé.
P/s:Mình thấy đề gõ khá nhiều chỗ sai.
Bài 1 mình thấy sai nếu n chẵn.
Bài 4 mình thấy chỉ số n,n-1 đáng nhẽ ở trên. .đây là số mũ mới đúng.

Xác định tất cà các ma trận vuông cấp 3 giao hoán với ma trận

$A=\begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

Một cách làm tồi của em
$A=2I+\begin{bmatrix}
-2 & -1 &-1 \\
-1 & -2 &-1 \\
1& 1 &0
\end{bmatrix}$
Giờ mình chỉ cần để ý tới ma trận $B =\begin{bmatrix}
-2 & -1 &-1 \\
-1 & -2 &-1 \\
1& 1 &0
\end{bmatrix}$
Gọi C là ma trận giao hoán với B
$BC=CB$
$BCB^{-1}=C$
Từ đây có thể dùng Gauss để giải hệ 9 ẩn 9 phương trình.O.o.Tồi nhưng chí ít là sẽ ra. .

Cho 2 ma trận
$A=\left( \begin{matrix}
1 &2 \\
-1 &3 \\
\end{matrix} \right)$ $B=\left( \begin{matrix}
2 & 1 \\
0 & 4 \\
\end{matrix} \right)$
Xét phép biến đổi tuyến tính L: ${{M}_{2}}(\mathbb{R})\to {{M}_{2}}(\mathbb{R})$ Xác định bởi $L(X)=AXB$
Hãy tính vết và định thức của L

Nếu $A^{2}=0$ thì $A$ có các giá trị riêng là $0 \Rightarrow A+I$ có các giá trị riêng là $1$, $A-I$ có các trị riêng là $-1$.
.
$\Rightarrow 1=det(A+I) \geq det(A+I)=(-1)^{n}$.

Nếu $A^{2}=I$ thì $A+I$ có các trị riêng là $0$ hoặc $2$, $A-I$ có các trị riêng tương ứng là $-2$ hoặc $0$.

$\Rightarrow det(A+I) \geq det(A-I)$.

Không sử dụng dữ kiện n lẻ..khả năng là có chỗ hổng rồi.

A là ma trận vuông thực cấp n(với n lẻ) có các tính chất
$A^2=O_n$ hoặc $A^2=I_n$
Chứng minh rằng $det(A+I) \geq det(A-I)$

Cho $ A,B\in {{M}_{ n}}{R} $ không giao hoán
Các số $ q,p,r\in R $ thỏa mãn $ pAB+qBA={{I}_{n}} $ và $A^2=rB^2$
Chứng minh rằng $ p=q $

Ta có $ pA{{B}^{2}}+qBAB=B $
Và $ pBAB+q{{B}^{2}}A=B $
$ r{{B}^{2}}A=rA{{B}^{2}}={{A}^{3}} $
Do vậy $ (p-q)(A{{B}^{2}}-BAB)=0 $
Và $ (p-q)({{B}^{2}}A-BAB)=0 $
Nếu $ p\ne q\Rightarrow BAB=A{{B}^{2}}={{B}^{2}}A $
Thay vào ta có $ (p+q){{A}^{2}}{{B}^{2}}=AB $
Và $ (p+q){{B}^{2}}{{A}^{2}}=BA $
Lại có$ {{A}^{2}}=r{{B}^{2}} $
$ \Rightarrow AB=BA $ Trái giả thiết
Vậy $p=q$
(Làm rõ và chỉnh sửa 1 chút từ cách giải trong Putnam-Beyond)Không phải của mình.

Ta đặt $M=\begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}$ và $N=\begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}$

Ta có

$MN= \begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{2} & O \\ O & I_{2} \end{pmatrix}$

Suy ra $M$ khả nghịch và $M^{-1}=N$

Suy ra $NM= \begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} I_{2} & O \\ O & I_{2} \end{pmatrix}$

Suy ra $pBA+qAB=I_{2}=pAB+qBA \Rightarrow (p-q)(AB-BA) \Rightarrow p=q$

..............
Đây là lời giải mình đọc trên Internet. hi

Hay quá.Nhưng chẳng tự nhiên chút nào..Hi vọng có cách tự nhiên hơn.

Tính

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}^{100}$

Ta có nhận xét $A^2=2^2I_4$

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Với I là ma trận đơn vị. CMR : Nếu (I + AB) khả nghịch thì (I + BA) cũng khả nghịch!

Hôm qua em mới đọc được bài này với 1 cách chứng minh khác:
Giả sử phản chứng (I+BA) không khả nghịch det(BA+I)=0
BA nhân giá trị riêng -1
AB và BA cùng tập giá trị riêng
AB cũng nhận giá trị riêng -1
det(AB+I)=0 vậy AB+I không khả nghịch.
Awesome!!!.

Bài 1: Cho A là ma trận lũy linh, chứng minh $A^{n}=0$
Bài 2: Cho x là số thực dương, hỏi tồn tại hay không ma trận vuông thực cấp 2 sao cho
$A^{2004}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0&-1-x \end{pmatrix}$

Bài 1 là bài thi cuối kì của mình.
Mình đã làm thế này
$A$=tổng trực tiếp $J_i$
Trong đó $J_i$ là ma trận Jordan cấp nhỏ hơn hoặc bằng n
Ma trận Jordan đó có dãy 1 nằm trên đường chéo phụ phía trên đường chéo chính


\[\left[ \begin{matrix}
0 & 1 & {} & 0 \\
{} & 0 & 1 & {} \\
{} & {} & ... & 1 \\
0 & {} & {} & 0 \\
\end{matrix} \right]\]
Chéo 1 này không nhất thiết nằm ở vị trí đó nhé.Chỉ cần nằm khác đường chéo chính thôi.
Vì $A^n$=tổng trực tiếp của các$ {J_{i}}^{n}$
Mà các ${J_{i}}^n$ đều bằng ma trận 0 (Cm theo quy nạp)
Vậy $A^n=0$

Cho ma trận vuông A cấp n có dạng

$A=\begin{bmatrix} a & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & a & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & a & 1\\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a \end{bmatrix}$

Và $A^{n}=\left ( a_{ij} \right )_{n}$

Tính $\sum_{j=1}^{n}a_{1j}$

$ {{A}^{n}}={{(aI+B)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}{B}^{(n-k)} $

Với
$ B=\left[ \begin{matrix}
0 & 1 & {} & {} & 0 \\
0 & 0 & 1 & {} & {} \\
{} & {} & {} & {} & {} \\
{} & {} & {} & {} & 1 \\
0 & {} & {} & {} & 0 \\
\end{matrix} \right] $
Sau đó khai triển ra nhận thấy B^n=0,
Cứ mỗi lần mũ B lên thì dãy 1 trên đường chéo nhảy lên 1 nấc.(CM bằng quy nạp)
Vậy $\sum_{j=1}^{n}a_{1j}=\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}}=(a+1)^n-1$