carljohnson1997

Bài 2. a. (Dễ nhằn gần nhất)

PT $\Leftrightarrow 4x^{2}+4x+10=2(4x-1)\sqrt{x^{2}+3}$

$\Leftrightarrow 4(x^{2}+3)+4x-1-1=2(4x-1)\sqrt{x^{2}+3}(1)$

Đặt:$\left\{\begin{matrix} 4x-1=a & & \\ \sqrt{x^{2}+3}=b (b\geq \sqrt{3})& & \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow 4b^{2}+a-1=2ab \Leftrightarrow (2b-1)(2b+1)-a(2b-1)=0 \Leftrightarrow (2b-1)(2b+1-a)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} b=\frac{1}{2}(i)& & \\ 2b=a-1(ii)& & \end{bmatrix}$

TH $(i)$ loại

TH $(ii)$ $\Leftrightarrow$$2\sqrt{x^{2}+3}=4x-2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2} & & \\ 4(x^{2}+3)=16x^{2}-16x+4& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 12x^{2}-16x-8=0$

$\Leftrightarrow ...............$

Đến đây tự làm đơn giản ^^@

HUm nay e up lên vội quá. Sai sót chỗ nào các bác sửa cho e nhé!!

Tuy không ảnh hưởng đến bài làm nhưng không thể giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ được vì vai trò của $a,b,c$ không như nhau

Khi hoán vị vòng quanh thì bài toán vẫn vậy mà anh. Vai trò 3 ẩn như nhau mà.

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$:

Chứng minh rằng : $2(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a )+ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 4abc\geq 19$

Ta có thể làm như sau:

Ta có: $VP=3(a+b+c)^{2}-8=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+6(ab+bc+ac)-8$

BĐT cần chứng mình tương đương:

$(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+2abc+4\geq 3(ab+bc+ac)$(1)

Mặt khác:$3(ab+bc+ac)= (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+3abc$

(1)$\Leftrightarrow$$(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+abc\leq 4$(2)

Do vai trò a,b,c như nhau nên giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có: $a(b-a)(b-c)\leq 0$

$\Leftrightarrow a(b^{2}-bc-ab+ac)\leq 0$

$\Leftrightarrow ab^{2}-abc-a^{2}b+a^{2}c\leq 0$

$\Leftrightarrow ab^{2}+a^{2}c\leq abc+a^{2}b$

Thế vào (2): VT(2)$\leq a^{2}b+bc^{2}+2abc=b(a^{2}+c^{2}+2ac)$

$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}$

$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}\leq 4(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3})^{3}(AM-GM 3 số)$

$= 4(\frac{a+b+c}{3})^{3}=4=VP$ (Do a+b+c=3)

Suy ra điều phải cm.

ĐTXR khi a=b=c=1

Chắc là đề này có vấn đề rồi bạn ạ. Để mình xem lại nhé. Thanks

Vậy nên mình nghĩ đề có vần đề rồi. Bạn xem lại coi.

Bạn ơi cái pt 1 tớ đặt $tan\frac{x}{2}$=t. Rồi rút hết theo t. Tớ lại ra 1 cái pt bậc 3 mà k thể nào nhẩm đc nghiệm. Mà nó có nghiệm rất là lẻ.