carljohnson1997

Bài 2. a. (Dễ nhằn gần nhất)

PT $\Leftrightarrow 4x^{2}+4x+10=2(4x-1)\sqrt{x^{2}+3}$

$\Leftrightarrow 4(x^{2}+3)+4x-1-1=2(4x-1)\sqrt{x^{2}+3}(1)$

Đặt:$\left\{\begin{matrix} 4x-1=a & & \\ \sqrt{x^{2}+3}=b (b\geq \sqrt{3})& & \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow 4b^{2}+a-1=2ab \Leftrightarrow (2b-1)(2b+1)-a(2b-1)=0 \Leftrightarrow (2b-1)(2b+1-a)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} b=\frac{1}{2}(i)& & \\ 2b=a-1(ii)& & \end{bmatrix}$

TH $(i)$ loại

TH $(ii)$ $\Leftrightarrow$$2\sqrt{x^{2}+3}=4x-2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2} & & \\ 4(x^{2}+3)=16x^{2}-16x+4& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 12x^{2}-16x-8=0$

$\Leftrightarrow ...............$

Đến đây tự làm đơn giản ^^@

HUm nay e up lên vội quá. Sai sót chỗ nào các bác sửa cho e nhé!!

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$:

Chứng minh rằng : $2(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a )+ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 4abc\geq 19$

Ta có thể làm như sau:

Ta có: $VP=3(a+b+c)^{2}-8=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+6(ab+bc+ac)-8$

BĐT cần chứng mình tương đương:

$(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+2abc+4\geq 3(ab+bc+ac)$(1)

Mặt khác:$3(ab+bc+ac)= (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+3abc$

(1)$\Leftrightarrow$$(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+abc\leq 4$(2)

Do vai trò a,b,c như nhau nên giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có: $a(b-a)(b-c)\leq 0$

$\Leftrightarrow a(b^{2}-bc-ab+ac)\leq 0$

$\Leftrightarrow ab^{2}-abc-a^{2}b+a^{2}c\leq 0$

$\Leftrightarrow ab^{2}+a^{2}c\leq abc+a^{2}b$

Thế vào (2): VT(2)$\leq a^{2}b+bc^{2}+2abc=b(a^{2}+c^{2}+2ac)$

$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}$

$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}\leq 4(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3})^{3}(AM-GM 3 số)$

$= 4(\frac{a+b+c}{3})^{3}=4=VP$ (Do a+b+c=3)

Suy ra điều phải cm.

ĐTXR khi a=b=c=1

Giải hệ sau với a,b,c dương:

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=1 & & \\ \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{9}{ab}+\frac{9}{bc}+\frac{9}{ac}=270 & & \end{matrix}\right.$

Với $x,y,z \geq 0$. CM BĐT

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2(\frac{xy}{x^{3}+y^{3}}+\frac{yz}{y^{3}+z^{3}}+\frac{xz}{x^{3}+z^{3}})$

 

$\frac{xy}{z^{2}x+z^{2}y}+\frac{yz}{x^{2}y+x^{2}z}+\frac{xz}{y^{2}x+y^{2}z}\geq \frac{9}{2(x+y+z)}$

$2x^{2}-2x\sqrt{30}-\sqrt{2007}.\sqrt{30+4x\sqrt{2007}}=\sqrt{30}\sqrt{2007}$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \\ 2x^{2}+3xy-2y^{2}+3x +y=7& & \end{matrix}\right.$

$(4x-1)\sqrt[3]{2-8x^{3}}=2x$

Từ phương trình đường tròn ta xác định tâm $I(1,1)$ và $R=5$
Lấy điểm $D(\frac{5}{2},3)$
Dễ chứng minh được với mọi $M$ thuộc đường tròn $\left ( C \right )$ ta luôn có $MA=2MD$.
THật vậy. Ta có:
$MA = 2MD$
$\Leftrightarrow$$\overrightarrow{MA}^{2}$ = $4\overrightarrow{MD}^{2}$
$\Leftrightarrow$$(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^{2}=4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID})^{2}$
Biến đổi 1 hồi ra đươc biểu thức cuối cùng như sau: $\qquad$ (Ái chà! chỗ này bí hiểm quá nhỉ?)
$2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{ID})=3R^{2}+ID^{2}-IA^{2}$
Dễ thấy $\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$
và $3R^{2}+4ID^{2}-IA^{2}=0$
($IA^2;\;R^2$ dễ thấy thì còn được, các cái khác thì phải nêu ra nhé! Có ai cho điểm $D$ đâu mà dễ thấy!)
Từ đó suy ra với mọi $M$ thuộc đường tròn $\left ( C \right )$ ta luôn có $MA=2MD$
Ta có: $MA+2MB=2MD+2MB=2(MD+MB) \geq 2BD$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\in BD$ $\quad$ (Chính xác phải là $M$ nằm giữa $B$ và $D$)
PHương trình đường thằng BD:
$\frac{x-\frac{5}{2}}{0-\frac{5}{2}}=\frac{y-3}{8-3}$
$\Leftrightarrow 2x+y-8=0$
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
$\left\{\begin{matrix}
2x+y-8=0 & & \\
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=25& &
\end{matrix}\right.$
Giải hệ tìm ra được:$\left\{\begin{matrix}
x=1 & & \\
y=6& &
\end{matrix}\right.$
Hoặc:$\left\{\begin{matrix}
x=5 & & \\
y=-2& &
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy chỉ có $M(1,6)$ thỏa mãn. (Em thử bằng cách nào hay thế?)
Vậy với điểm M(1,6) thuộc đường tròn $\left ( C \right )$ thì $MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất
______________________
Điểm bài làm: $d=8$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-25}{2}\right\rfloor+3\times 8=37$

Mọi người có còn những bài pt dạng này không ạ? Tức là cũng dùng liên hợp và sau đó giải quyết cái phần còn thừa trông có vẻ bùng nhùng ấy. Cho em xin với.

Bạn ơi. Những cái này cần dựa vào điều kiện và chứng minh cái biểu thức lùng nhùng ấy khác 0 là được. Nhưng mình thấy trong các lời giải đề thi thì cái phần đấy người ta đều viết là: "dễ thấy ... khác 0" thôi. Không thấy cm.

Giải ph][ng trình
$\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}-(x-4)\sqrt{x-7}-3x+28=0$

Mình tự trình bày cách của mình phát
$\left\{\begin{matrix}
9y^{3}(3x^{3}-1)=-125& & \\
45x^{2}y+75x=6y^{2}& &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
27x^{3}y^{3}+125=9y^{3}& & \\
45x^{2}y+75x=6y^{2}& &
\end{matrix}\right.$
THấy $y=0$ không là nghiệm của hệ.
Với $y\neq 0$. Chia pt trên cho $y^{3}$. Phương trình dưới cho $y^{2}$ ta được:
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
27x^{3}+\frac{125}{y^{3}}=9& & \\
45x^{2}\frac{1}{y}+75x\frac{1}{y^{2}}=6& &
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(3x)^{3}+(\frac{5}{y})^{3}=9& & \\
9x^{2}\frac{5}{y}+3x\frac{25}{y^{2}}=6& &
\end{matrix}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(3x)^{3}+(\frac{5}{y})^{3}=9& & \\
(3x)^{2}\frac{5}{y}+3x(\frac{5}{y})^{2}=6& &
\end{matrix}\right.$
Đến đây đặt $3x=a$, $\frac{5}{y} = b$
Ta thu được hệ:
$\left\{\begin{matrix} a^{3}+b^{3}=9 & & \\ a^{2}b+ab^{2}=6 & & \end{matrix}\right.$
Phần còn lại nhờ các bạn giải nốt nhé. Hihi

Nhìn thì dễ nhưng cũng không hề dễ đâu ạ.

$\left\{\begin{matrix} 9y^{3}(3x^{3}-1)=-125 & & \\ 45x^{2}y+75x=6y^{2}& & \end{matrix}\right.$

theo B.C.S ta có $A\leq \sum \frac{1}{a^5c+b^5c+1}$
mà ta có bdt sau $2(a^5+b^5)\geq (a+b)(a^4+b^4)(*)$. Thật vậy
$(*)\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\geq 0$ (đúng với mọi $a,b>0$)
dấu bằng có dc khi $a=b$
$\Rightarrow a^5+b^5\geq \frac{(a+b)2\sqrt{a^4b^4}}{2}=a^2b^2(a+b)$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^5c+b^5c+1}\leq \sum\frac{1}{ca^2b^2(a+b)+abc}= \sum\frac{c}{a+b+c}=1$
$\Rightarrow A\leq 1$
$A=1$ khi $a=b=c=1$
KL: $maxA=1$ khi $a=b=c=1$

________________________
Điểm bài làm $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-25}{2}\right\rfloor+3\times 10+0= 43$

Giải tiếp nè.
$x.\sqrt[3]{25-x^{3}}(x+\sqrt[3]{25-x^{3}})=30$
Cái này dễ hơn nè. Hihi.