abcdefghklmn

Gợi ý:
Vì 1000 = 8.125 nên ta xét số đã cho theo mod 8 và mod 125
Dễ thấy nó đồng dư 1 mod 8 và $3^{2002^{2001}}$ mod 125.
Thực hiện trên Casio để xác định dư của phép chia $3^X$ cho 125 và để tìm chu kì của dãy dư đó, cần kết hợp cả kiến thức về đồng dư nữa:
Vào Mode Base thiết lập lấy phần nguyên.
Gán X bằng 1.
$3^X \div 125:3^X -125.B(Ans):X =X +1$
Bấm ===...
Sau khi tìm được độ dài của chu kì dãy dư bằng n số việc còn lại thật đơn giản là tìm $2002^{2001}$ theo mod n.

CMR: Nếu $x_{1}.x_{2}+x_{2}.x_{3}+x_{3}.x_{4}+...+x_{n}.x_{1}=0, x_{i}\epsilon \left \{ 1,-1 \right \}$ thì $n\vdots 4$.

Giờ ta đưa về bài toán :
Tìm GTLN $P = p(1+q)$ với $p^2+q^2=1$.
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có :
$$\dfrac{p^2}{3}+q^2 \ge \dfrac{2pq}{\sqrt{3}}$$
$$\dfrac{2p^2}{3}+\dfrac{1}{2} \ge \dfrac{2p}{\sqrt{3}}$$
Suy ra $$\dfrac{3}{2} \ge \dfrac{2p(1+q)}{\sqrt{3}}$$
Phần còn lại bạn tự xử lí nha.
Câu $2$ cũng làm tương tự .

Cái này là làm theo PP cân bằng hệ số đây mà. Để mình giải thích rõ hơn được không nhỉ:
Ta có: $$ap^2+q^2 \ge 2pq\sqrt{a}$$
$$(1-a)p^2+b \ge 2p\sqrt{b(1-a)}$$
Rồi cho dấu bàng xảy ra để tìm a và b thôi, chú ý là: $p^2+q^2=1$ và $\sqrt{a}=\sqrt{b(1-a)}$ (Có cái này thì biểu thức P mới lấp ló hiện ra@@ .

Bài 62: Chứng minh rằng nếu $2^n - 1 \vdots 9$ thì $2^{n-1} \vdots 7$

Theo Phéc - ma nhỏ ta có: $2^6 \equiv 1 (mod 7) $vì (2, 7) = 1
Đặt: n = 6q + r với r = 0, 1, 2 , 3, 4, 5. Để ý rằng $2^6 \equiv 1 (mod 9) $ nên $2^n - 1 \equiv 2^r - 1 (mod 9) $ Thử thì thấy chỉ có r = 0 thỏa mãn.@@@@@@@@@@@@
Mà bạn xem lại đề đi vì $2^m$ chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 làm sao chia hết cho 7 được. Theo mình thì đề đúng phải là $2^n - 1 \vdots 7$. Như thế thì theo trên ta có ngay đpcm.

Theo đề bài ta có: f(1) = 5, f(2) = - 4 và Q(1) = Q(2) = 0
Do vậy: Q(1) - f(1) = -5 và Q(2) - f(2) = 4
Do đó: M + N = -2 và 2M + N = -1 => M = 1 và N = -3