NGUYEN MINH HIEU TKVN

Bài toán: Cho đa giác lồi có n đỉnh. Tính số giao điểm của đa giác đó, biết rằng không có 3 đường chéo nào đồng quy tai 1 điểm (không tính số đỉnh đa giác)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi gồm : 01 trang

 

Câu I (2,0 điểm)

1. Phân tích đa thức $P(x)= (3x-2)^{3}+(1-2x)^{3}+(1-x)^{3}$ thành nhân tử.
2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c+\sqrt{abc}=4$. Tính giá trị của biểu thức:

$A= \sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-c)(4-a)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{abc}$

Câu II ( 2,0 điểm)

1. Giải phương trình $\sqrt{4-x^{2}}+6=2\sqrt{2+x}+3\sqrt{2-x}$
2. Giải hệ phương trình $x^{2}+y^{2}=5$ và$xy(x^{2}-y^{2})=6$

    

Câu III (2,0 điểm)

1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện $x^{2}-4xy+5y^{2}= 2(x-y)$
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $\sqrt{1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}}$là số hữu tỷ.

Câu IV (3,0 điểm)

            Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

1. Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
2. Chứng minh $AO\top EF$
3. Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.

Câu V (1,0 điểm)

     Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S=\sum \frac{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}{x+y+2z}$

----------------------------Hết----------------------------

 

 

Họ và tên thí sinh................................................Số báo danh........................................

Chữ kí của giám thị 1: ....................................Chữ kí của giám thị 2: ...........................

========================================

Bài 1: Giả sử $x,y$ là các số nguyên dương thoả mãn A =$\frac{x^{2}+y^{2}+6}{xy}$   là một số nguyên. Chứng minh rằng A = 8

 

 

Cho các số thưc $x_{1}; x_{2}....;x_{11}$ Thoã mãn
$1\leq x_{1}< x_{2}< ....< x_{11}\leq 1000$
CMR tồn tại $x_{i}\in {x_{1}; x_{2};...;x_{10}}$ sao cho $x_{i+1}-x_{i}-1< 3\sqrt[3]{x_{i}*x_{i+1}}$
.

Cho các số $a,b,c$ là số thực dương thoả mãn: $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$ .
Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{3}{4}$