tienvuviet

Giải phương trình: $$7\left(\dfrac{\sin3x-\cos3x}{2\sin2x-1}-\cos x\right)=4-\cos2x$$

Điều kiện $\sin 2x \ne \dfrac{1}{2}$

Coi như xong nhé

Giải phương trình:   $2\cos^2 \frac{6x}{5}+1=3\cos \frac{x}{5}$

______________________________________________________________________________________

 

P/s:  $3\cos \frac{x}{5 }$ chứ không phải $3\cos \frac{8x}{5 }$

Nhưng nếu mà là $3\cos \dfrac{8x}{5 }$ thì mới giải được, chứ là $3\cos \dfrac{x}{5 }$ thì bó tay

Tôi giải với $3\cos \dfrac{8x}{5 }$ nhé

Spoiler

Bạn này chắc ở SG nhỉ :V

Đk $x\ge 1;x\le -5$
Sau đó bình phương 2 vế ta thu được $2\sqrt{(x+2)(x+3)(x-1)^2}\le -x(x-1)$
$\Rightarrow 0\le x\le 1$
Vậy bpt có nghiệm duy nhất $x=1$
Ngoài ra còn 1 cách là nhân lượng liên hợp làm hồi đầu năm mà giờ quên rồi :V

Trung tướng xem lại bài nhé

Đặt $\sqrt x = t \ge 0$

Số cần tìm dạng $abcde$. Bài không yêu cầu $5$ chữ số khác nhau nên chọn $b = 1$ có 1 cách, có $4$ cách xếp số $7$, $3$ vị trí còn lại có $7$ cách xếp, Vậy có $1.4.7.7.7 = 1372$ số.

Gì mà cần xét trường hợp vậy

$3^x + 3.3^x + 9.3^x = 13.3^x = 117 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow x = 2$

Sao tìm dc tọa độ 2 điểm là thế này vậy bạn? 

vì $x = 1 $ là TCĐ chia đôi 2 nhánh đồ thị, chọn $x= 1 - m < 1$ thì kiểu gì $x$ cũng thuộc vào nhánh dưới ( bên trái đồ thị - tất nhiên đó là khi $m > 0$ còn khi $m < 0$ tự khác sẽ ngước với điểm nhánh phải)...

Cho hàm: $y = \dfrac{x-3}{2x - 2}$

a) Tìm tọa độ A, B thuộc 2 nhánh đồ thị sao cho ABmin.


 

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{cos3x}{sinx+1}$

Tách $\dfrac{\cos 3x}{\sin x + 1} = \dfrac{4\cos^3 x - 3\cos x}{\sin x + 1} = \dfrac{4\cos^3 x}{\sin x + 1} - \dfrac{3\cos x}{\sin x + 1}$

$= \dfrac{4\cos^2 x d(\sin x)}{\sin x + 1} - \dfrac{3d(\sin x)}{\sin x + 1}$

Xong rồi đó

Bài 1:$\sqrt[3]{x+24}+\sqrt{12-x}=6$


Các bạn giải hộ mình phương trình thứ 2 sau khi đã nhân liên hợp nhé.

Đưa về hệ là hay nhứt luôn $\begin{cases} a + b = 6 \\ a^3 + b^2 = 36 \end{cases}$ Rút thế là ra nghiệm tuyệt đẹp

Bài 23 có thể giải 1 cách khá cơ bản như sau
Ta có
$${I_n} = \int_0^1 {\frac{{n{{x}^2} + 1}}
{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^n}}}d{x}}  = n\int_0^1 {\frac{{d{x}}}
{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{n - 1}}}}}  + \left( {1 - n} \right)\int_0^1 {\frac{{d{x}}}
{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^n}}}}  = n{J_{n - 1}} + \left( {1 - n} \right){J_n}$$
Tới đây dùng công thức truy hồi là ra luôn

Sau đây là lời giải của anh phudinhgioihan
$\begin{gathered}
  {I_n} = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {n\varphi  - \sin \varphi } \right)d\varphi }  = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\left\{ {\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right] - \sin \varphi \sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]} \right\}d\varphi }   \\
   = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }  + \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\sin \varphi \sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }   \\
\end{gathered} $
Xét tích phân sau ta có
$\begin{gathered}
  I = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\sin \varphi \sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }  = \int_0^{2\pi } {\sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\left( { - {e^{\cos \varphi }}} \right)}   \\
   = \left. { - {e^{\cos \varphi }}\sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]} \right|_0^{2\pi } + \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]\left( {n + 1 - \cos \varphi } \right)d} \varphi   \\
   = \left( {n + 1} \right)\int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }  - \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }   \\
\end{gathered} $
Do đó ta có được hệ thức truy hồi
$${I_n} = \left( {n + 1} \right){I_{n + 1}} \Rightarrow {I_n} = \frac{{{I_0}}}{{n!}} = \frac{{\int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {\sin \varphi } \right)d\varphi } }}{{n!}} = \frac{{2\pi }}{{n!}}$$
Tuy nhiên vẫn chưa hiểu lắm tại sao lại có đc
$${I_0} = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {\sin \varphi } \right)d\varphi }  = 2\pi $$

Một bài toán hay đây: với $n$ nguyên dương hãy chứng minh rằng

$$I = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {n\varphi  - \sin \varphi } \right)d\varphi }  = \frac{{2\pi }}{{n!}}$$
Bài này tớ cũng chưa tìm ra hướng đi

Bài 22
Ta xét bài toán tổng quát sau
$$I = \int_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{x^{2n}} + 1}}} $$
Phương trình ${z^{2n}} + 1 = 0$ có các nghiệm là $z = {e^{i\left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{{2n}}}},k = \overline {0..2n - 1} $
Do đó có thể thác triển  giải tích $f(z)$
$$f\left( z \right) = \frac{1}{{{z^{2n}} + 1}}$$
của hàm đã cho vào nửa mặt phẳng có $n$ cực điểm đơn và hiển nhiên rằng
$$f\left( {z{e^{\frac{{i\pi }}{n}}}} \right) \equiv f\left( z \right)$$
Ta chọn chu tuyến tích phân $\Gamma \left( R \right)$ gồm

a) đoạn thẳng $\left[ {0,R} \right] \subset \mathbb{R}$
b) cung tròn $\gamma \left( R \right) = \left\{ {z = {{\operatorname{Re} }^{i\varphi }};0 \leqslant \varphi  \leqslant \frac{\pi }{n}} \right\}$
c) đoạn thẳng $\delta  = \left\{ {z = r{e^{i\frac{\pi }{n}}},0 \leqslant r \leqslant R} \right\}$
Theo định lý thặng dư Cauchy ta có
$$I = \int\limits_{\Gamma \left( R \right)} {f\left( z \right)dz}  = \int_0^R {f\left( x \right)d{\text{x}}}  + \int\limits_{\gamma \left( R \right)} {f\left( z \right)dz}  + \int\limits_\delta  {f\left( z \right)dz}  =  - \frac{{\pi i}}{n}{e^{\frac{{i\pi }}{{2n}}}} + \int\limits_{\gamma \left( R \right)} {f\left( z \right)dz}  + \int\limits_\delta  {f\left( z \right)dz} $$
Ta xét tích phân theo $\delta$ ta có

$$\int\limits_\delta  {f\left( z \right)dz}  =  - \int_0^R {f\left( {r{e^{\frac{{i\pi }}{n}}}} \right){e^{\frac{{i\pi }}{n}}}dr}  = {e^{\frac{{i\pi }}{n}}}\int_0^R {\frac{{dx}}{{1 + {x^{2n}}}}} $$
Ta xét tích phân theo $\gamma(R)$ ta có

$$\left| {\int\limits_{\gamma \left( R \right)} {} } \right| \leqslant \int\limits_{\gamma \left( R \right)} {\frac{{Rd\varphi }}{{{R^{2n}} - 1}}}  = \frac{{\frac{\pi }{n}R}}{{{R^{2n}} - 1}} \to 0\left( {R \to \infty } \right)$$
Do đó ta có
$$\left( {1 - {e^{\frac{{i\pi }}{n}}}} \right)I =  - \frac{{\pi i}}{n}{e^{\frac{{i\pi }}{n}}} \Rightarrow I = \frac{\pi }{{2n\sin \frac{\pi }{{2n}}}}$$