tienvuviet

Bài toán: Giải hệ phương trình: $ \left\{\begin{matrix} 2y^{3}+2\left ( x+y+7 \right )\sqrt[3]{\left ( x+7 \right )^{2}}+x\left ( x+7 \right )=0 & \\ \dfrac{\left ( x+7 \right )\left ( 3x+14 \right )}{\sqrt[3]{x+7}}+3\left ( x+7 \right )=7\left ( \sqrt[3]{x+7}-2y \right ) & \end{matrix}\right.$.
----
Nhận xét là kết cấu bài toán này "quá xấu" nhưng nó lại có nghiệm khá đẹp .
----
Tặng mọi người nhân ngày 20/11 .

Tặng thì mềnh xin

Đặt $\sqrt[3]{x+7} = a$ hệ đã cho trở thành

$\begin{cases}2y^3 +2(a^3 + y)a^2 a^3(a^3 - 7) = 0\\ a^3(3a^3 - 7) +3a^3.a =y.a(a -2y) = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a^6 + 2a^5 -7a^3 +2b^3 _2a^2 b = 0 \ (1) \\ 3a^6 +3a^4 -7a^3 -2ab^2 - a^2b = 0 \ (2) \end{cases}$

Lấy $(2) -(2)$ ta được

$(2a^6 - 2b^3) + (3a^4 - 3a^2b) - (2a^5 - 2ab^2) = 0$

$(a^2 - b)(2a^4 - 2a^3 +2a^2b + 3a^2 -2ab + b^2) = 0$

Ta được $a^2 =b$ còn phương trình $2a^4 - 2a^3 +2a^2b + 3a^2 -2ab + b^2 = 0$ vô nghiệm

Giải ra được nghiệm $ x = -6$

1, Chứng minh rằng nếu 3 cạnh của một tam giác lập thành 1 cấp số cộng thì tam giác đó có ít nhất 2 góc nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{\pi }{3}$.

thầy cô giúp đơn em nha. e cảm ơn

Giả sử 3 cạnh của tam giác là $a, \ b, \ c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng $\Rightarrow 2b = a + c$

Theo định lý hàm số Cosin ta có

$\cos B = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ac} = \dfrac{1}{2ac} \bigg ( a^2 - c^2 + \dfrac{a^2 + c^2 + 2ac}{4} \bigg )$

$ = \dfrac{3(a^2 + c^2) - 2ac}{8ac} \geq \dfrac{3.2ac -2ac}{8ac} =\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{B} \leq 60^0$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: $\left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |=m$

Bạn tự kẻ bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối.
+ Nếu $x \leq 2$ ta có $5 - 2x = m \Rightarrow x = \dfrac{5 - m}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình
+ Nếu $ 2 < x < 3 \Rightarrow 1 = m$
$\quad$ + Nếu $m = 1$ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
$\quad$ + Nếu $m \neq 1$ phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Nếu $ x \geq 3$ ta có $2x - 5 = m \Rightarrow x = \dfrac{5 +m}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Giải phương trình $log_3\frac{2x-1}{(x-1)^2}=3x^2-8x+5$

$log_3 (2x -1) - log_3 (x-1)^2 = 3(x-1)^2 - (2x -1) + 1$

$\Leftrightarrow log_3 (2x -1) + (2x -1) = log_3 (x-1)^2 + 3(x 1)^2 + log_3 3$

$\Leftrightarrow log_3 (2x -1) + (2x -1) = log_3 3(x-1)^2 + 3(x 1)^2 $

Xét hàm $f(t) = log_3 t + t, \ t >0$ đồng biến

$\Rightarrow 2x - 1 = 3(x- 1)^2 $

$\Leftrightarrow 3x^2 - 8x + 4 = 0$ có nghiệm $x = 2, \dfrac{2}{3}$

mình chưa hiểu bài 2 lắm .

Ta có $\dfrac{\sqrt[3]{x-x^3}+2013x}{x^3}$

$= \dfrac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x^3} + \dfrac{2013x}{x^3}$

$= \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}- 1}}{x^2} + \dfrac{2013}{x^2}$. Vậy

$I = \displaystyle \int_{1}^{2\sqrt{2}} \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}- 1}}{x^2} + \displaystyle \int_{1}^{2\sqrt{2}} \dfrac{2013}{x^2} = I_1 + I_2$

Tích phân $I_2$ dễ tự tính

Tính $I_1 =\displaystyle \int_{1}^{2\sqrt{2}} \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}- 1}}{x^2}$

Đặt $\dfrac{1}{x} = t \Rightarrow dt = -\dfrac{dx}{x^2}$ thay vào ta được

$I_1 = -\displaystyle \int_{1}^{2\sqrt{2}} \sqrt[3]{t^2 - 1}dt$

Đặt $t = \sin u \Rightarrow \cos u du = dt$

$I_1 = -\displaystyle \int_{a}^{b} \sqrt[3]{-\cos^2 u}.\cos u du$

$I_1 = \displaystyle \int_{a}^{b}\cos^{\dfrac{5}{3}} u du$

Bạn tự tính cận xong thay vô nhé