HuyenBi

cách biến đổi khác cho câu pt thứ 2
$x^{2}+a^{2}+\frac{1}{4}+2ax+x+a=a^{2}+x-\frac{1}{16}+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}+\frac{1}{4}$
<=> $(x+a+\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}+\frac{1}{2})^{2}$

vế trái có dạng $\sqrt{(\frac{a}{2}-b)^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}+\sqrt{(b-\frac{c}{2})^{2}+\frac{3}{4}c^{2}}$
áp dụng bdt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$ ta có
VT $\geq \sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{c}{2})^{2}+\frac{3}{4}(a+c)^{2}}$=$\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}$
dấu = xảy ra khi ac=b(a+c)

hệ <=> $\left\{\begin{matrix} 81x=y^{3}-9y^{2}+27 & \\ 27x^{3}-81x^{2}+27=27y& \end{matrix}\right.$
cộng vế với vế ta có
$27x^{3}-81x^{2}+81x=y^{3}-9y^{2}+27y$
<=> $(3x-3)^{3}=(y-3)^{3}$
<=> 3x-3=y-3
<=> y=3x thay vào pt thứ 2 ta có

$x^{3}-3x^{2}-3x+1=0$
<=> $(x+1)(x^{2}-4x+1)=0$
=> x => y

cách này mình làm khá dài nhưng nghiệm ra khá đẹp
$\left\{\begin{matrix} (x^{2}+1)(y+1)=7y-1 & \\ y^{2}(x^{2}+1)^{2}+y(x^{2}+1)=13y^{2}-1& \end{matrix}\right.$
xét y=-1 ko là nghiệm của hệ
xét y$\neq$-1 từ pt đầu ta có $x^{2}+1=\frac{7y-1}{y+1}$ thay vào pt sau ta có
$y^{2}\: .(\frac{7y-1}{y+1})^{2}+y\: .\frac{7y-1}{y+1}=13y^{2}-1$
<=> $36y^{4}-33y^{3}-5y^{2}+y+1=0$
<=> $(y-1)(3y-1)(12y^{2}+5y+3)=0$
<=> y=1 => $x^{2}=2$
hoặc y=1/3 => $x^{2}=1$

câu 1 dkxd y$\neq$0
hệ <=> $\left\{\begin{matrix} (x^{2}+\frac{1}{y^{2}})+(x+\frac{1}{y})=4 & \\ (xy+1) (x^{2}y^{2}+1)=4y^{3}& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix} (x^{2}+\frac{1}{y^{2}})+(x+\frac{1}{y})=4 & \\ (x+\frac{1}{y})(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})=4 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2& \\ x^{2}+\frac{1}{y^{2}}=2 & \end{matrix}\right.$
từ pt đầu ta có $\frac{1}{y}=2-x$ thay vào pt sau ta có
$x^{2}+(2-x)^{2}=2$
<=> $(x-1)^{2}=0$
<=> x=1 nên y=1

hệ <=> $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-3x=-9y^{2}-27y & \\ x^{3}=y^{3}+28 & \end{matrix}\right.$
trừ vế với vế ta có
$(x-1)^{3}=(y+3)^{3}$
<=> x-1=y+3
<=> x=y+4
thay vào pt đầu tìm được x,y

hệ <=> $\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x-2=48-12y & \\ y^{3}-12y-16=3z-18 & \\ z^{3}-27z-54=27x-54& \end{matrix}\right.$
<=>$\left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}(x-2)=12(4-y) & \\ (y-4)(y+2)^{2}=3(z-6) & \\ (z-6)(z+3)^{2}=27(x-2)& \end{matrix}\right.$
xét x=2 => (x,y,z)=(2;4;6) là nghiệm của hệ
tương tự với y=4 và z=6
xét x=-1 thì y=4;z=6 ko là nghiệm của hệ
tương tự xét y=-2 ; z=-3 đều ko là nghiệm của hệ
xét $x\neq \begin{Bmatrix} -1;2 \end{Bmatrix}$, $y\neq \begin{Bmatrix} -2;4 \end{Bmatrix}$, $z\neq \begin{Bmatrix} -3;6 \end{Bmatrix}$
nhân vế với vế của hệ pt ta có
$(x+1)^{2}(y+2)^{2}(z+3)^{2}(x-2)(y-4)(z-6)=972(4-y)(z-6)(x-2)$
<=> $(x-2)(y-4)(z-6)\begin{bmatrix} (x+1)^{2}(y+2)^{2}(z+3)^{2}+972 \end{bmatrix}=0$
=> pt vô nghiệm với x,y,z thỏa mãn
vậy hệ có nghiệm (x,y,z)=(2;4;6)

Ta có $\frac{AD}{AM}=\frac{AB}{AD}$ => $AD^{2}=AM.AB$
Và $AD^{2}=AN.AC$
do đó $AD^{4}=AN.AM.AC.AB$(1)
mật khác ta có tứ giác AMDN nội tiếp do $\angle MAN+\angle MDN= \angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^{\circ}$
nên $\angle ADM=\angle ANP$
nên $\Delta ADM$ đồng dạng $\Delta ANP$
=> $\frac{AD}{AN}=\frac{AM}{AP}$
=.$AM.AN=AP.AD$
Kết hợp với (1) ta có $AD^{3}=AB.AC.AP$

Ta thấy $x + y + z = 0$ không là nghiệm của hệ.
Xét $x + y + z \neq 0$ ta có :
$\left\{\begin{matrix} \frac{x+y+z}{xy+xz}=\frac{1}{3} & \\ \frac{x+y+z}{yz+xy}=\frac{1}{4} & \\ \frac{x+y+z}{xz+zy}=\frac{1}{5}& \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \frac{3}{xy+xz}=\frac{1}{x+y+z} & \\ \frac{4}{yz+xy}=\frac{1}{x+y+z} & \\ \frac{5}{xz+zy}=\frac{1}{x+y+z}& \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ $\frac{3}{xy+xz}=\frac{4}{yz+xy}=\frac{5}{zx+zy}$
Do đó ta có $z = 3x = 2y$ thay vào hệ ta có $x = \frac{11}{3}$ $,$ $x = \frac{11}{2}$ $,$ $z = 11$.

với x,y,z>0 áp dụng bunhia ta có
$\left ( \frac{1}{x} +\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right )\left ( x+y+z \right )\geq 36$
<=> $\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\geq \frac{36}{12}=3$ vì $x+y+z\leq 12$
nên dấu = xảy ra khi $\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}$
<=> y=2x và z=3x thay vào pt ta có x=2,y=4,z=6
câu 3 tương tự

lấy pt thứ nhất trừ vế với vế cho pt thứ hai ta có
$x^{4}-x^{2}y-2x^{2}+y^{2}-8y+31=0$
<=> $x^{4}-(y+2)x^{2}+y^{2}-8y+31=0$
đặt $x^{2}=t$ xét pt bậc 2 ân t ta có
$\Delta =(y+2)^{2}-4\left ( y^{2}-8y+31 \right )$
<=> $\Delta =-3y^{2}+36y-120$
<=> $\Delta =-3\left [ \left ( y-6 \right )^{2}+4 \right ]< 0$
nên pt vô nghiệm => hệ phương trình vô nghiệm

dkxd $x\geq \frac{1}{3}, \, y\geq 1$
pt(2)<=> $2x^{2}+xy-y^{2}+4+6x+3y=0$
<=>$(x+y+1)(2x-y+4)=0$ (dùng $\Delta$ phân tích nhân tử)
<=> y=2x+4
thay vào pt(1) ta có
$\sqrt{3x-1}+4(2x+1)=\sqrt{2x+3}+3(2x+4)$
<=> $\sqrt{3x-1}-\sqrt{2x+3}+2x-8=0$
<=> $\frac{x-4}{\sqrt{3x-1}+\sqrt{2x+3}}+2(x-4)=0$
<=>$(x-4)(\frac{1}{\sqrt{3x-1}+\sqrt{2x+3}}+2)=0$
<=> x=4 (tm) nên y=12(tm)

xét x=0 không là nghiệm của hệ
xét x$\neq$0 từ pt thứ hai ta có
$y+1=\frac{x^{2}-1}{x}$
thay vào pt(1) ta có
$x^{2}\, \frac{x^{2}-1}{x}\, \left ( x+\frac{x^{2}-1}{x} \right )=\left ( 3x-1 \right )\left ( x-1 \right )$
<=>$\left ( x^{2} -1\right )\left ( 2x^{2}-1 \right )-\left ( 3x-1 \right )\left ( x-1 \right )=0$
<=>$x(x+2)(x-1)^{2}=0$
<=>x=-2 => y=-2,5
hoặc x=1=> y=0

từ pt (1) ta có
$x^{2}-2y^{2}-xy-\left ( x+y \right )=0$
<=>$\left ( x+y \right )\left ( x-2y \right )-\left ( x+y \right )=0$
<=> $\left ( x+y \right )\left ( x-2y-1 \right )=0$
<=> x=2y+1 (vì $y\geq 0;x\geq 1$)
thay vào pt (2) ta có
$(2y+1)\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=2(2x+1)-2y$
<=>$y\sqrt{2y}+\sqrt{2y}-2y-2=0$
<=> $(\sqrt{2y}-2)(y+1)=0$
<=> $y=2$ (tm) nên x=$5$

dkxd x>=-1
đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt[3]{3x+4}=b$ ta có
$\left\{\begin{matrix} \left ( a^{2}+4 \right )a+1=b & \\ b^{3}-3a^{2}=1 & \end{matrix}\right.$
cộng vế với vế ta có
$a^{3}+4a+3a^{2}+2=b^{3}+b$
<=> $\left ( a+1 \right )^{3}+\left ( a+1 \right )=b^{3}+b$
<=>$\left ( a+1-b \right )\left [ \left ( a+1 \right ) ^{2}+\left ( a+1 \right )b+b^{2}+1\right ]=0$
<=> a+1=b
mà $b^{3}-3a^{2}=1$
nên thay a=b-1 ta có
$b^{3}-3a^{2}+6b-4=0$
<=> $\left ( b-1 \right )\left ( b^{2}-2b+4 \right )=0$
<=> b=1 nên x=-1