Không biết là đúng hay sai nhưng đây là cách làm của mình.
Trước hết mình thấy $x_{0}>a$ tùy ý có vẻ hợp lý hơn. Nếu $x_{0}>0$ tùy ý thì mình chịu, không làm được.
Giả sử mình sửa lại đề là $x_{0}>a$ tùy ý. (Đây chỉ là ý kiến chủ quan của mình)
Khi đó ta chứng minh $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ mọi n thuộc N
+ Chứng minh sự tồn tại của giới hạn
Dùng quy nạp:
$x_{0}>\sqrt[3]{a}$ đúng
Ta giả sử $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ mọi n thuộc N
Khi đó $x_{n+1}=\frac{1}{3}(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^2})>\sqrt[3]{a}$ cũng đúng
Thật vậy
$\frac{1}{3}(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^2})>\sqrt[3]{a}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{3}(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^2})-\sqrt[3]{a}>0$
$\Leftrightarrow$ $(x_{n}-\sqrt[3]{a})^2(x_{n}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{a})>0$ đúng với mọi $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ trong đó n thuộc N
Do vậy nên $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ với mọi n thuộc N, hay nói cách khác dãy $x_{n}$ là một dãy bị chặn dưới bởi $\sqrt[3]{a}$
Mặt khác:
$x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{3}(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^2})-x_{n}=\frac{1}{3}(\frac{a-x_{n}^3}{x_{n}^2})<0$ Vì $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ mọi n thuộc N
Hay $x_{n}$ là một dãy giảm.
Một dãy giảm bị chặn dưới nên hội tụ.
+ Tìm giới hạn
Giả sử $\lim_{n\rightarrow \infty}{x_{n}}=L$
Khi đó $L=\frac{1}{3}(2L+\frac{a}{L})$
Giải phương trình ra ta được $L=\sqrt[3]{a}$.
- quangbinng yêu thích