thanhdotk14

Bất đẳng thức Holder có rất nhiều tài liệu viết mà, các em có thể tìm kiếm nhiều cách chứng minh khá hay trên mạng

Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\ge9$

Ta có: $$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\ge \frac{3(a+1)}{a^3(b+c)}=\frac{3(1+bc)}{a^2(b+c)}$$

Do đó, ta cần chứng minh:$$\sum \frac{1+bc}{a^2(b+c)}\ge 3$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^2(b+c)}+\sum \frac{bc}{a^2(b+c)}\ge 3$$

Lại có: $$\sum \frac{1}{a^2(b+c)}=\sum \frac{bc}{ab+ca}\ge \frac{3}{2}$$

$$\sum \frac{bc}{a^2(b+c)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\ge \frac{3}{2}$$

Từ đó, bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

đặt $f(x)=x^3$ => $f'(x)=6x \geq 0$

mà bộ $(4,4,2,0,0)$ trội hơn bộ $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ (hiển nhiên)

nên $f(4)+f(4)+f(2)+f(0)+f(0)\geq f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)+f(a_4)+f(a_5)$ (theo bất đẳng thức karamata)

<=> $136 \geq a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3$

dấu '=' xảy ra khi a1=a2=4, a3=2,a4=a5=0 và các hoán vị của nó

Đề nghị em chứng minh rõ rành nha     

_______________________________________

Bài giải:

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:$4\ge a_1\ge a_2\ge a_3\ge a_4\ge a_5\ge 0$

Từ đó suy ra:$$\left\{\begin{matrix} a_1\le 4 & & \\ a_1+a_2\le 8 & & \\ a_1+a_2+a_3\le 10 & & \\ a_1+a_2+a_3+a_4\le 10 & & \\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=10 & & \end{matrix}\right.$$

Ta có:$$P=a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3$$

$$=a_1(a_1^2-a_2^2)+(a_1+a_2)(a_2^2-a_3^2)+(a_1+a_2+a_3)(a_3^2-a_4^2)+(a_1+a_2+a_3+a_4)(a_4^2-a_5^2)+(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)a_5^2$$

$$\le 4(a_1^2-a_2^2)+8(a_2^2-a_3^2)+10(a_3^2-a_4^2)+10(a_4^2-a_5^2)+10a_5^2$$

$$=2(2a_1^2+2a_2^2+a_3^2)$$

Lại có:$$a_1^2+a_2^2+a_3^2=a_1(a_1-a_2)+(a_1+a_2)(a_2-a_3)+(a_1+a_2+a_3)a_3$$

$$\le 4(a_1+a_2)+2a_3=2(a_1+a_2)+2(a_1+a_2+a_3)\le 36$$

Từ đó suy ra:$$P\le 2(36+32)=136$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_1=a_2=4,a_3=2,a_4=a_5=0$ và các hoán vị

Góp vui một bài, bài này khá độc đáo =))

________________________________

Bài 20: Cho các số thực $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\in [0;4]$ và thỏa mãn:$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=10$$

Tìm $\max$ của biểu thức:$$P=a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3$$

Đường tròn $\left ( E \right )$ tiếp xúc với 2 cạnh $AB, AC$ của $\Delta ABC$ tại $P,Q$ và cũng tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại $S$. Gọi $(I)$ là đường tròn nội tiếp  $\Delta ABC$.

1. Gọi M trung điểm $BC$. Chứng minh: $\angle BIM=\angle SBI$ .

2. Chứng minh: $I\in PQ$

Đây chính là kết quả của bài toán này nè bạn