Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


thanhdotk14

Đăng ký: 13-11-2012
Offline Đăng nhập: 17-04-2018 - 23:17
*****

#526389 Đề thi chọn HSG trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định 2014-2014

Gửi bởi thanhdotk14 trong 27-09-2014 - 17:41

Lười gõ quá, nên up ảnh thôi nhá :D :D :D

10580480_369526263204390_889474448_n.jpg

_____

@Huy: rồi đó nhé :3




#487608 Đề thi học sinh giỏi lớp 11 THPT tỉnh Bình Định năm học 2014

Gửi bởi thanhdotk14 trong 18-03-2014 - 18:48

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LƠP 11 THPT 

NĂM HỌC: 2013-2014

______________________

 

 

 

 

Bài 1:

      $1.$ Giải phương trình: $$x^3+\sqrt{(1-x^2)^3}=x\sqrt{2-2x^2}$$

      $2.$ Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. 

              Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$M=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$$

Bài 2:

      $1.$ Chứng minh rằng với $n$ là số tự nhiên chẵn thì tổng $T$ sau chia hết cho $2^n$

$$T=C_{2n}^0+5C_{2n}^2+5^2C_{2n}^4+...+5^{i}C_{2n}^{2i}+...+5^{n}C_{2n}^{2n}$$

      $2.$ Cho dãy số xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix} u_1=-1 & & \\ u_n=\frac{u_{n-1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}.u_{n-1}} ,n=2,3,...& & \end{matrix}\right.$$

          $a.$ Lập công thức tổng quát của dãy số $(u_n)$.

          $b.$ Tính: $S_{2014}=u_1+u_2+...+u_{2014}$

Bài 3:

        Cho bốn số thực $a,b,c,d$ thỏa các hệ thức: $a^2+b^2=1$ và $c+d=4$

         Tìm giá trị lớn nhất của $P=ac+bd+cd$

Bài 4:

        Cho tam giác đều $OAB$ cạnh a. Trên đường thẳng $d$ qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$, lấy $M$ sao cho $OM=x$. Gọi $E,F$ là các hình chiếu của A lên $MB$ và $OB$. Gọi $N$ là giao điểm $EF$ và $d$. Xác định $x$ để thể tích tứ diện $ABMN$ nhỏ nhất.

___________

Hi vọng trường mình làm tốt các bài này :)




#485753 Cho $a,b,c>0$ sao cho abc=1. Chứng minh rằng: $\sum...

Gửi bởi thanhdotk14 trong 04-03-2014 - 06:15

Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\ge9$

Ta có: $$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\ge \frac{3(a+1)}{a^3(b+c)}=\frac{3(1+bc)}{a^2(b+c)}$$

Do đó, ta cần chứng minh:$$\sum \frac{1+bc}{a^2(b+c)}\ge 3$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^2(b+c)}+\sum \frac{bc}{a^2(b+c)}\ge 3$$

Lại có: $$\sum \frac{1}{a^2(b+c)}=\sum \frac{bc}{ab+ca}\ge \frac{3}{2}$$

$$\sum \frac{bc}{a^2(b+c)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\ge \frac{3}{2}$$

Từ đó, bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$




#465023 KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2013

Gửi bởi thanhdotk14 trong 18-11-2013 - 12:33

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2013

____________________________________

 

 

Bài 1: Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1 & & \\ (1-x)(1+y)=2& & \end{matrix}\right.$$

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu $a,b,c,d$ là bốn nghiệm của đa thức $P(x)=x^4+x^3-1$ thì $ab$ là nghiệm của đa thức $Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1$

Bài 3: Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương.

Chứng minh rằng: Nếu $ab(5a^2+5b^2-2)$ chia hết cho $5ab-1$ thì $a=b$

Bài 4: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau:$$x_n=\frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}},n\in\mathbb{N^*}$$

$a.$ Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ nguyên 

$b.$ Xác định $n$ để $x_n$ chia hết cho $3$

Bài 5:

$a.$ Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng ($B$ nằm giữa $A$ và $C$). Gọi $(O)$ là đường tròn đi qua hai điểm $A,C$ ($AC$ không phải là đường kính). Hai tiếp tuyến với $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau ở $P$, $PB$ cắt $(O)$ tại $Q$. Phân giác của góc $AQC$ cắt $AC$ tại $R$.

Chứng minh rằng: $\frac{AB}{BC}=\frac{AR^2}{RC^2}$

$b.$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$.Giao điểm của $AI$ với $BC$ và $(O)$ lần lượt là $D,A_1$ ($A_1\ne A$)

Chứng minh rằng: $\frac{IA_1}{DA_1}=\frac{AB+AC}{BC}$




#462706 $ (a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1) \le 8 $

Gửi bởi thanhdotk14 trong 07-11-2013 - 18:15

đặt $f(x)=x^3$ => $f'(x)=6x \geq 0$

mà bộ $(4,4,2,0,0)$ trội hơn bộ $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ (hiển nhiên)

nên $f(4)+f(4)+f(2)+f(0)+f(0)\geq f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)+f(a_4)+f(a_5)$ (theo bất đẳng thức karamata)

<=> $136 \geq a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3$

dấu '=' xảy ra khi a1=a2=4, a3=2,a4=a5=0 và các hoán vị của nó

Đề nghị em chứng minh rõ rành nha  :icon6:  :icon6:  :icon6:

_______________________________________

Bài giải:

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:$4\ge a_1\ge a_2\ge a_3\ge a_4\ge a_5\ge 0$

Từ đó suy ra:$$\left\{\begin{matrix} a_1\le 4 & & \\ a_1+a_2\le 8 & & \\ a_1+a_2+a_3\le 10 & & \\ a_1+a_2+a_3+a_4\le 10 & & \\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=10 & & \end{matrix}\right.$$

Ta có:$$P=a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3$$

$$=a_1(a_1^2-a_2^2)+(a_1+a_2)(a_2^2-a_3^2)+(a_1+a_2+a_3)(a_3^2-a_4^2)+(a_1+a_2+a_3+a_4)(a_4^2-a_5^2)+(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)a_5^2$$

$$\le 4(a_1^2-a_2^2)+8(a_2^2-a_3^2)+10(a_3^2-a_4^2)+10(a_4^2-a_5^2)+10a_5^2$$

$$=2(2a_1^2+2a_2^2+a_3^2)$$

Lại có:$$a_1^2+a_2^2+a_3^2=a_1(a_1-a_2)+(a_1+a_2)(a_2-a_3)+(a_1+a_2+a_3)a_3$$

$$\le 4(a_1+a_2)+2a_3=2(a_1+a_2)+2(a_1+a_2+a_3)\le 36$$

Từ đó suy ra:$$P\le 2(36+32)=136$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_1=a_2=4,a_3=2,a_4=a_5=0$ và các hoán vị




#462416 $ (a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1) \le 8 $

Gửi bởi thanhdotk14 trong 05-11-2013 - 23:23

Góp vui một bài, bài này khá độc đáo =))

________________________________

Bài 20: Cho các số thực $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\in [0;4]$ và thỏa mãn:$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=10$$

Tìm $\max$ của biểu thức:$$P=a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3$$




#459191 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH LỚP 12 THPT

Gửi bởi thanhdotk14 trong 22-10-2013 - 11:26

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH LỚP 12 THPT

___________________________________

 

 

Bài 1: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy+y\sqrt{x^2-y^2}}{14} =\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}}& & \\ \sqrt{\left ( \frac{x+y}{2} \right )^3}+\sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^3}=9& & \end{matrix}\right.$$

Bài 2: Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$

$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$

$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?

Bài 3: Cho dãy $(U_n)$ xác định bởi:$-1<U_0<1,U_n=\sqrt{\frac{1+U_{n-1}}{2}}$

Với $n=1,2,...$

Hai dãy $(V_n)$ và $(W_n)$ được xác định như sau:$V_n=4^n(1-U_n)$ và $W_n=U_1U_2...U_n$

Tìm $\lim V_n$ và $\lim W_n$

Bài 4: 

$1.$ Cho tam giác $ABC$. Các đường phân giác $BD,CE$ của tam giác cắt nhau tại $I$.

Chứng minh rằng: Tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi $S_{BCDE}=2S_{BIC}$

$2.$ Cho hình chóp $SABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các tia $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho: $SA.SA'=SB.SB'=SC.SC'$. Vẽ $SH\perp (A'B'C')$ cắt $(ABC)$ tại $G$

$a.$ Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$b.$ Cho $SA=a,SB=b,SC=c$. Gọi $r$ là bán kình mặt cầu nội tiếp hình chóp $SABC$.

Chứng minh:$$r=\frac{S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}-S_{ABC}}{a+b+c}$$

Bài 5: Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:$$\left\{\begin{matrix} \log_{x^2+y^2}(x-y)\geq 1 & & \\ x-2y=m & & \end{matrix}\right.$$




#459042 $\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=n}^...

Gửi bởi thanhdotk14 trong 21-10-2013 - 15:19

Tính giới hạn của tổng sau:

 

Bài 1:

 

$$L=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=n}^{2n}\sin\frac{\pi}{k}$$

Bài giải:

Dễ thấy:$$\sum_{k=n}^{2n} \sin \frac{\pi}{k}=\sum_{k=1}^n\sin \frac{\pi}{n+k}$$

Trước tiên ta chứng minh rằng:$$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} =\ln 2$$

Dễ dàng chứng minh được:$$\ln (1+x)<x<-\ln (1-x), \forall 0<x<1$$

Từ đó suy ra:$\forall k=1,2,...,n$. Ta có:$$\ln \left(1+\frac{1}{n+k}\right)<\frac{1}{n+k}<-\ln \left(1-\frac{1}{n+k}\right)$$

$$\Leftrightarrow \ln (n+k+1)-\ln (n+k)<\frac{1}{n+k}<-\ln (n+k-1)+\ln (n+k)$$

Lần lượt thay $k=1,2,...,n$ và cộng vế theo vế các bất đẳng thức đó, ta được:$$\ln (2n+1)-\ln (n+1)<\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}<\ln 2n-\ln n$$

$$\Leftrightarrow \ln \left(\frac{2n+1}{n+1}\right)<\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} <\ln \frac{2n}{n}$$

Từ đó, theo nguyên lí kẹp, dễ dàng suy ra được:$$\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}=\ln 2(1)$$

Mặt khác, ta cũng dễ dàng chứng minh được:$$x>\sin x>x-\frac{x^3}{6} ,\forall x>0$$

Từ đó, ta suy ra được:$$\sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n+k}>\sum_{k=1}^n \sin \frac{\pi}{n+k}>\sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n+k}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n \frac{\pi^3}{(n+k)^3}(2)$$

Dễ thấy:$$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\pi^3}{(n+k)^3}=0(3)$$

Từ $(1),(2),(3)$ và theo nguyên lí kẹp ta suy ra được$$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \sin \frac{\pi}{n+k} =\pi \ln 2$$

Hay:$$L=\pi \ln 2$$




#457283 $\frac{51}{28}\leq \frac{a}...

Gửi bởi thanhdotk14 trong 12-10-2013 - 22:48



Cho a,b,c > 0 thoả mãn : $7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=11(ab+bc+ca)(1)$

CMR        $\frac{51}{28}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq 2$

Bài giải:

Từ $(1)$ ta suy ra được:$$7(a+b+c)^2=25(ab+bc+ca)$$

Chuẩn hóa:$a+b+c=1\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{7}{25}$

Lại có:$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

$$=\frac{\sum_{a,b,c}a(a+b)(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{\frac{11}{25}+3abc}{\frac{7}{25}-abc}$$

Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$$\frac{51}{28}\le \frac{\frac{11}{25}+3abc}{\frac{7}{25}-abc}\le 2$$

$$\Leftrightarrow \frac{49}{125.27}\le abc\le \frac{3}{125}$$

Mặt khác, ta thấy:$$\frac{7}{25}=a(b+c)+bc\le a(1-a)+\frac{(1-a)^2}{4}$$

$$\Rightarrow a\in \left[\frac{1}{15};\frac{3}{5}\right]$$

Tương tự, ta có:$a,b,c\in \left[\frac{1}{15};\frac{3}{5}\right]$

Do đó ta luôn có:$$\left(a-\frac{1}{15}\right) \left(b-\frac{1}{15}\right) \left(c-\frac{1}{15}\right)\ge 0$$

$$\Rightarrow abc\ge \frac{49}{125.27}$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{1}{15},b=c=\frac{7}{15}$ và các hoán vị

Tương tự ta cũng có:$$\left(a-\frac{3}{5}\right)\left(b-\frac{3}{5}\right)\left(c-\frac{3}{5}\right)\le 0$$

$$\Leftrightarrow abc\le \frac{3}{125}$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{3}{5},b=c=\frac{1}{5}$ và các hoán vị

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh 




#456155 Đề thi HSG thành phố Hải Phòng bảng A1 năm 2013-2014

Gửi bởi thanhdotk14 trong 08-10-2013 - 19:35

 

 
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$
 
 
Mathcope.o

ĐKXĐ:$y\ne 0$

Dễ dàng thấy rằng $-1\le x,y\le 1$

Nếu $y<0$ thì ta có:$\frac{6\sqrt{15}}{y^3}<0$ và $125(1-y^2)>0$

$\Rightarrow 0<y\le 1$

Khi đó ta có:$$125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}$$

$$=\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$$

$$\ge 125 (AM-GM)$$

Khi đó, phương trình thứ hai có nghiêm khi và chỉ khi:$\frac{125}{3}y^2=\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$

Từ đó suy ra được $y=\sqrt{\frac{3}{5}}$

 

 

 
 
 
Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn
$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Đặt
$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad   \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$
 
 

Dễ dàng chứng minh được:$x_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$

Ta có:$$x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)$$

$$\Leftrightarrow 13(x_{n+1}-3)=(x_n+10)(x_n-3)$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{x_n+10}=\frac{1}{x_n-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$

Do đó:$$S_n=\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$

$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} S_n=\frac{1}{17}$$

_____________

p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha  :icon6:  :icon6:  :icon6:




#456049 $\lim_{n\rightarrow+ \infty } \frac{x_{n+1}}{x_{1}x_...

Gửi bởi thanhdotk14 trong 08-10-2013 - 05:59

cho dãy số ($x_{n}$) được xác định như sau $x_{1}=5$ ; $x_{n+1}=x_{n}^{2}-2$     (n=1,2,....)

  tìm$\lim_{n\rightarrow+ \infty } \frac{x_{n+1}}{x_{1}x_{2}...x_{n}}$

Bài giải:

Ta có:$$x_{n+1}=x_n^2-2\Rightarrow x_n^2=x_{n+1}+2$$

$$=\frac{x_{n+1}^2-4}{x_{n+1}-2}=\frac{x_{n+1}^2-4}{x_n^2-4}$$

Do đó:$$\prod_{k=1}^n x_k^2=\frac{x_{n+1}^2-4}{x_1^2-4}=\frac{x_{n+1}^2-4}{21}$$

$$\Rightarrow \left(\frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}\right)^2=\frac{21x_{n+1}^2}{x_{n+1}^2-4}$$

Dễ dàng chứng minh được:$\lim_{n\to +\infty}x_n=+\infty$

Do đó:$$\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}\right)^2=21$$

$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}=\sqrt{21}$$




#455987 $\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{...

Gửi bởi thanhdotk14 trong 07-10-2013 - 21:53

cho a,b,c >0 chứng minh rằng

$\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)}\geq \frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}(1)$

Bài giải:

Ta viết lại bất đẳng thức $(1)$ như sau:$$\sum_{a,b,c} \frac{b-a}{a(a+1)(b+1)}\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{a,b,c} bc(c+1)(b-a)\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{a,b,c} a^2b^2+\sum_{a,b,c} a^2b\ge abc(a+b+c)+3abc$$

Nhưng bất đẳng thức này luôn đúng theo $AM-GM$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

__________________

@hoctronewton: chỗ màu đỏ mà bạn nói chỉ cần nhân tung tóe zô là ok à 




#454676 Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định,...

Gửi bởi thanhdotk14 trong 02-10-2013 - 17:37

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

 

 

 

Bài 1: Cho dãy số $(U_n)$ được xác định bởi: $U_0=U_1=1, U_{n+2}=\sqrt[3]{U_{n+1}}+\sqrt[3]{U_n},\forall n\in \mathbb{N}$

Chứng minh rằng dãy $(U_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 2: Cho ba số thực $a,b,c$ biến thiên trong đoạn $[1;2]$ và thỏa mãn: $a+b+c=4$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

Bài 3: Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự $(a,b,c)$, với $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $[a,b,c]=2^3.3^5.5^7.7^{11}$ ? (Kí hiệu $[a,b,c]$ là bội chung nhỏ nhất của ba số $a,b,c$ nguyên dương)

Bài 4: Đường tròn nội tiếp $\Delta ABC (AB\ne AC)$, tiếp xúc với cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $FE$ cắt cạnh $AB$ tại $X$, giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $ABC$ là $T$. Chứng minh rằng: $TX\perp TF$




#454294 $P= \frac{a^3+2}{b^2+1}+\frac{b^3+2...

Gửi bởi thanhdotk14 trong 30-09-2013 - 20:06



Cho 3 số thực a,b,c thuộc $[0;1]$. Tìm GTNN của 

$P= \frac{a^3+2}{b^2+1}+\frac{b^3+2}{c^2+1}+\frac{c^3+2}{a^2+1}$

Bài giải:

Ta cần chứng minh:$$\sum_{a,b,c} \frac{a^3+2}{b^2+1}\ge \frac{9}{2}(1)$$

Ta viết lại bất đẳng thức $(1)$ như sau:$$\sum_{a,b,c} \left(\frac{a^3+2}{b^2+1}-\frac{3}{2}\right)\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{a,b,c} \frac{2a^3-3b^2+1}{b^2+1}\ge 0(2)$$

Lại có: $2a^3+1\ge 3a^2 (AM-GM)$ nên từ $(2)$ ta cần chứng minh:$$\sum_{a,b,c} \frac{a^2-b^2}{b^2+1}\ge 0$$

$$\sum_{a,b,c} \frac{a^2+1}{b^2+1}\ge 3$$

(Vì $\frac{b^2}{b^2+1}=1-\frac{1}{b^2+1}$)

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng theo $AM-GM$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$




#453754 $\frac{2a+c}{1+ac}+\frac{2b+c}...

Gửi bởi thanhdotk14 trong 28-09-2013 - 22:24

Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của

$\frac{2a+c}{1+ac}+\frac{2b+c}{1+bc}+\frac{a+b+c}{1\sqrt{2}abc}$

 

Bài này, mình đã giải ở đây