thanhdotk14

Cho các số nguyên dương $n$. Tính số các số nguyên dương không lớn hơn $n.(n+1).(n+2)$ mà không chia hết cho các số $n$,$n+1$,$n+2$

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện : với mỗi số nguyên dương $m<1999$, đều tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho :

$\frac{m}{1999}<\frac{k}{n}<\frac{m+1}{2000}$

Giả sử các số thực $x, y, z, t$ thỏa mãn điều kiện :

$20.(x^2 + y^2) + 6.(z^2 + t^2) = 1997$

Tìm GTLN của : $(x+z).(y+t)$

Bài này chỉ cần chia hai vế cho $20.6$ rồi áp dụng bất đẳng thức $(a+b).(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b})\geq x^2+y^2$ và bất đẳng thức luôn luôn đúng sau : $x^2+y^2\geq2.x.y$

Giải hệ phương trình sau :
$\left\{\begin{matrix} 3y^2+x^2+1=3xy+2x& & \\ x^2+y^2+3=3y+2xy& & \end{matrix}\right.$

Tổng quát ta có bài toán sau :
Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC và các số $\alpha ,\beta ,\gamma$ , ta có bất đẳng thức sau :

$\alpha .MA^2 + \beta .MB^2 + \gamma .MC^2 \geq \frac{\alpha .\beta .c^2 + \beta .\gamma .a^2 + \gamma .\alpha .b^2}{\alpha + \beta + \gamma }$

Để giải bài toán trên ta chỉ cần khai triển bất đẳng thức luôn đúng sau :
$\left ( \alpha .\overrightarrow{MA} + \beta .\overrightarrow{MB}+\gamma .\overrightarrow{MC} \right )\geq O$

C)Câu này phổ biến
$x^8+x^4+1=(x^8-x^5)+(x^5-x^2)+(x^2+x+1)+(x^4-x)=x^5(x^3-1)+x^2(x^3-1)+(x^2+x+1)+x(x^3-1)$
$=x^5(x-1)(x^2+x+1)+x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)+x(x-1)(x^2+x+1)$ (tự sử lí tiếp nhé bạn

Ta có :
$4x^4 + 4x^3 +5x^2+2x+1=(2x^2+x+1)^2$

Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh tam giác .$m_{a},m_{b},m_{c}$ là các đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng :

$$\frac{m_{a}.m_{b}}{a.b}+\frac{m_{b}.m_{c}}{b.c}+\frac{m_{c}.m_{a}}{c.a}\geq \frac{9}{4}$$

Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc}{a+b+c}\leq 4R^{2}$