thanhdotk14

Lười gõ quá, nên up ảnh thôi nhá

_____

@Huy: rồi đó nhé :3

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LƠP 11 THPT 

NĂM HỌC: 2013-2014

______________________

Bài 1:

      $1.$ Giải phương trình: $$x^3+\sqrt{(1-x^2)^3}=x\sqrt{2-2x^2}$$

      $2.$ Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. 

              Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$M=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$$

Bài 2:

      $1.$ Chứng minh rằng với $n$ là số tự nhiên chẵn thì tổng $T$ sau chia hết cho $2^n$

$$T=C_{2n}^0+5C_{2n}^2+5^2C_{2n}^4+...+5^{i}C_{2n}^{2i}+...+5^{n}C_{2n}^{2n}$$

      $2.$ Cho dãy số xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix} u_1=-1 & & \\ u_n=\frac{u_{n-1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}.u_{n-1}} ,n=2,3,...& & \end{matrix}\right.$$

          $a.$ Lập công thức tổng quát của dãy số $(u_n)$.

          $b.$ Tính: $S_{2014}=u_1+u_2+...+u_{2014}$

Bài 3:

        Cho bốn số thực $a,b,c,d$ thỏa các hệ thức: $a^2+b^2=1$ và $c+d=4$

         Tìm giá trị lớn nhất của $P=ac+bd+cd$

Bài 4:

        Cho tam giác đều $OAB$ cạnh a. Trên đường thẳng $d$ qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$, lấy $M$ sao cho $OM=x$. Gọi $E,F$ là các hình chiếu của A lên $MB$ và $OB$. Gọi $N$ là giao điểm $EF$ và $d$. Xác định $x$ để thể tích tứ diện $ABMN$ nhỏ nhất.

___________

Hi vọng trường mình làm tốt các bài này

Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\ge9$

Ta có: $$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\ge \frac{3(a+1)}{a^3(b+c)}=\frac{3(1+bc)}{a^2(b+c)}$$

Do đó, ta cần chứng minh:$$\sum \frac{1+bc}{a^2(b+c)}\ge 3$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^2(b+c)}+\sum \frac{bc}{a^2(b+c)}\ge 3$$

Lại có: $$\sum \frac{1}{a^2(b+c)}=\sum \frac{bc}{ab+ca}\ge \frac{3}{2}$$

$$\sum \frac{bc}{a^2(b+c)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\ge \frac{3}{2}$$

Từ đó, bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2013

____________________________________

Bài 1: Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1 & & \\ (1-x)(1+y)=2& & \end{matrix}\right.$$

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu $a,b,c,d$ là bốn nghiệm của đa thức $P(x)=x^4+x^3-1$ thì $ab$ là nghiệm của đa thức $Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1$

Bài 3: Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương.

Chứng minh rằng: Nếu $ab(5a^2+5b^2-2)$ chia hết cho $5ab-1$ thì $a=b$

Bài 4: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau:$$x_n=\frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}},n\in\mathbb{N^*}$$

$a.$ Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ nguyên 

$b.$ Xác định $n$ để $x_n$ chia hết cho $3$

Bài 5:

$a.$ Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng ($B$ nằm giữa $A$ và $C$). Gọi $(O)$ là đường tròn đi qua hai điểm $A,C$ ($AC$ không phải là đường kính). Hai tiếp tuyến với $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau ở $P$, $PB$ cắt $(O)$ tại $Q$. Phân giác của góc $AQC$ cắt $AC$ tại $R$.

Chứng minh rằng: $\frac{AB}{BC}=\frac{AR^2}{RC^2}$

$b.$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$.Giao điểm của $AI$ với $BC$ và $(O)$ lần lượt là $D,A_1$ ($A_1\ne A$)

Chứng minh rằng: $\frac{IA_1}{DA_1}=\frac{AB+AC}{BC}$

đặt $f(x)=x^3$ => $f'(x)=6x \geq 0$

mà bộ $(4,4,2,0,0)$ trội hơn bộ $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ (hiển nhiên)

nên $f(4)+f(4)+f(2)+f(0)+f(0)\geq f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)+f(a_4)+f(a_5)$ (theo bất đẳng thức karamata)

<=> $136 \geq a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3$

dấu '=' xảy ra khi a1=a2=4, a3=2,a4=a5=0 và các hoán vị của nó

Đề nghị em chứng minh rõ rành nha     

_______________________________________

Bài giải:

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:$4\ge a_1\ge a_2\ge a_3\ge a_4\ge a_5\ge 0$

Từ đó suy ra:$$\left\{\begin{matrix} a_1\le 4 & & \\ a_1+a_2\le 8 & & \\ a_1+a_2+a_3\le 10 & & \\ a_1+a_2+a_3+a_4\le 10 & & \\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=10 & & \end{matrix}\right.$$

Ta có:$$P=a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3$$

$$=a_1(a_1^2-a_2^2)+(a_1+a_2)(a_2^2-a_3^2)+(a_1+a_2+a_3)(a_3^2-a_4^2)+(a_1+a_2+a_3+a_4)(a_4^2-a_5^2)+(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)a_5^2$$

$$\le 4(a_1^2-a_2^2)+8(a_2^2-a_3^2)+10(a_3^2-a_4^2)+10(a_4^2-a_5^2)+10a_5^2$$

$$=2(2a_1^2+2a_2^2+a_3^2)$$

Lại có:$$a_1^2+a_2^2+a_3^2=a_1(a_1-a_2)+(a_1+a_2)(a_2-a_3)+(a_1+a_2+a_3)a_3$$

$$\le 4(a_1+a_2)+2a_3=2(a_1+a_2)+2(a_1+a_2+a_3)\le 36$$

Từ đó suy ra:$$P\le 2(36+32)=136$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_1=a_2=4,a_3=2,a_4=a_5=0$ và các hoán vị

Góp vui một bài, bài này khá độc đáo =))

________________________________

Bài 20: Cho các số thực $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\in [0;4]$ và thỏa mãn:$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=10$$

Tìm $\max$ của biểu thức:$$P=a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3$$

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH LỚP 12 THPT

___________________________________

Bài 1: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy+y\sqrt{x^2-y^2}}{14} =\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}}& & \\ \sqrt{\left ( \frac{x+y}{2} \right )^3}+\sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^3}=9& & \end{matrix}\right.$$

Bài 2: Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$

$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$

$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?

Bài 3: Cho dãy $(U_n)$ xác định bởi:$-1<U_0<1,U_n=\sqrt{\frac{1+U_{n-1}}{2}}$

Với $n=1,2,...$

Hai dãy $(V_n)$ và $(W_n)$ được xác định như sau:$V_n=4^n(1-U_n)$ và $W_n=U_1U_2...U_n$

Tìm $\lim V_n$ và $\lim W_n$

Bài 4: 

$1.$ Cho tam giác $ABC$. Các đường phân giác $BD,CE$ của tam giác cắt nhau tại $I$.

Chứng minh rằng: Tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi $S_{BCDE}=2S_{BIC}$

$2.$ Cho hình chóp $SABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các tia $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho: $SA.SA'=SB.SB'=SC.SC'$. Vẽ $SH\perp (A'B'C')$ cắt $(ABC)$ tại $G$

$a.$ Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$b.$ Cho $SA=a,SB=b,SC=c$. Gọi $r$ là bán kình mặt cầu nội tiếp hình chóp $SABC$.

Chứng minh:$$r=\frac{S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}-S_{ABC}}{a+b+c}$$

Bài 5: Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:$$\left\{\begin{matrix} \log_{x^2+y^2}(x-y)\geq 1 & & \\ x-2y=m & & \end{matrix}\right.$$

Tính giới hạn của tổng sau:

 

Bài 1:

 

$$L=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=n}^{2n}\sin\frac{\pi}{k}$$

Bài giải:

Dễ thấy:$$\sum_{k=n}^{2n} \sin \frac{\pi}{k}=\sum_{k=1}^n\sin \frac{\pi}{n+k}$$

Trước tiên ta chứng minh rằng:$$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} =\ln 2$$

Dễ dàng chứng minh được:$$\ln (1+x)<x<-\ln (1-x), \forall 0<x<1$$

Từ đó suy ra:$\forall k=1,2,...,n$. Ta có:$$\ln \left(1+\frac{1}{n+k}\right)<\frac{1}{n+k}<-\ln \left(1-\frac{1}{n+k}\right)$$

$$\Leftrightarrow \ln (n+k+1)-\ln (n+k)<\frac{1}{n+k}<-\ln (n+k-1)+\ln (n+k)$$

Lần lượt thay $k=1,2,...,n$ và cộng vế theo vế các bất đẳng thức đó, ta được:$$\ln (2n+1)-\ln (n+1)<\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}<\ln 2n-\ln n$$

$$\Leftrightarrow \ln \left(\frac{2n+1}{n+1}\right)<\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} <\ln \frac{2n}{n}$$

Từ đó, theo nguyên lí kẹp, dễ dàng suy ra được:$$\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}=\ln 2(1)$$

Mặt khác, ta cũng dễ dàng chứng minh được:$$x>\sin x>x-\frac{x^3}{6} ,\forall x>0$$

Từ đó, ta suy ra được:$$\sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n+k}>\sum_{k=1}^n \sin \frac{\pi}{n+k}>\sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n+k}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n \frac{\pi^3}{(n+k)^3}(2)$$

Dễ thấy:$$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\pi^3}{(n+k)^3}=0(3)$$

Từ $(1),(2),(3)$ và theo nguyên lí kẹp ta suy ra được$$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \sin \frac{\pi}{n+k} =\pi \ln 2$$

Hay:$$L=\pi \ln 2$$

_{Cho a,b,c > 0 thoả mãn :} $7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=11(ab+bc+ca)(1)$

CMR        $\frac{51}{28}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq 2$

Bài giải:

Từ $(1)$ ta suy ra được:$$7(a+b+c)^2=25(ab+bc+ca)$$

Chuẩn hóa:$a+b+c=1\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{7}{25}$

Lại có:$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

$$=\frac{\sum_{a,b,c}a(a+b)(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{\frac{11}{25}+3abc}{\frac{7}{25}-abc}$$

Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$$\frac{51}{28}\le \frac{\frac{11}{25}+3abc}{\frac{7}{25}-abc}\le 2$$

$$\Leftrightarrow \frac{49}{125.27}\le abc\le \frac{3}{125}$$

Mặt khác, ta thấy:$$\frac{7}{25}=a(b+c)+bc\le a(1-a)+\frac{(1-a)^2}{4}$$

$$\Rightarrow a\in \left[\frac{1}{15};\frac{3}{5}\right]$$

Tương tự, ta có:$a,b,c\in \left[\frac{1}{15};\frac{3}{5}\right]$

Do đó ta luôn có:$$\left(a-\frac{1}{15}\right) \left(b-\frac{1}{15}\right) \left(c-\frac{1}{15}\right)\ge 0$$

$$\Rightarrow abc\ge \frac{49}{125.27}$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{1}{15},b=c=\frac{7}{15}$ và các hoán vị

Tương tự ta cũng có:$$\left(a-\frac{3}{5}\right)\left(b-\frac{3}{5}\right)\left(c-\frac{3}{5}\right)\le 0$$

$$\Leftrightarrow abc\le \frac{3}{125}$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{3}{5},b=c=\frac{1}{5}$ và các hoán vị

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh 

 

 

Bài 1. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$

 

 

Mathcope.o

ĐKXĐ:$y\ne 0$

Dễ dàng thấy rằng $-1\le x,y\le 1$

Nếu $y<0$ thì ta có:$\frac{6\sqrt{15}}{y^3}<0$ và $125(1-y^2)>0$

$\Rightarrow 0<y\le 1$

Khi đó ta có:$$125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}$$

$$=\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$$

$$\ge 125 (AM-GM)$$

Khi đó, phương trình thứ hai có nghiêm khi và chỉ khi:$\frac{125}{3}y^2=\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$

Từ đó suy ra được $y=\sqrt{\frac{3}{5}}$

 

 

 

 

Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn

$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$

Đặt

$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad   \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$

Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$

 

 

Dễ dàng chứng minh được:$x_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$

Ta có:$$x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)$$

$$\Leftrightarrow 13(x_{n+1}-3)=(x_n+10)(x_n-3)$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{x_n+10}=\frac{1}{x_n-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$

Do đó:$$S_n=\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$

$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} S_n=\frac{1}{17}$$

_____________

p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha     

cho dãy số ($x_{n}$) được xác định như sau $x_{1}=5$ ; $x_{n+1}=x_{n}^{2}-2$     (n=1,2,....)

  tìm$\lim_{n\rightarrow+ \infty } \frac{x_{n+1}}{x_{1}x_{2}...x_{n}}$

Bài giải:

Ta có:$$x_{n+1}=x_n^2-2\Rightarrow x_n^2=x_{n+1}+2$$

$$=\frac{x_{n+1}^2-4}{x_{n+1}-2}=\frac{x_{n+1}^2-4}{x_n^2-4}$$

Do đó:$$\prod_{k=1}^n x_k^2=\frac{x_{n+1}^2-4}{x_1^2-4}=\frac{x_{n+1}^2-4}{21}$$

$$\Rightarrow \left(\frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}\right)^2=\frac{21x_{n+1}^2}{x_{n+1}^2-4}$$

Dễ dàng chứng minh được:$\lim_{n\to +\infty}x_n=+\infty$

Do đó:$$\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}\right)^2=21$$

$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}=\sqrt{21}$$

cho a,b,c >0 chứng minh rằng

$\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)}\geq \frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}(1)$

Bài giải:

Ta viết lại bất đẳng thức $(1)$ như sau:$$\sum_{a,b,c} \frac{b-a}{a(a+1)(b+1)}\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{a,b,c} bc(c+1)(b-a)\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{a,b,c} a^2b^2+\sum_{a,b,c} a^2b\ge abc(a+b+c)+3abc$$

Nhưng bất đẳng thức này luôn đúng theo $AM-GM$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

__________________

@hoctronewton: chỗ màu đỏ mà bạn nói chỉ cần nhân tung tóe zô là ok à 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

Bài 1: Cho dãy số $(U_n)$ được xác định bởi: $U_0=U_1=1, U_{n+2}=\sqrt[3]{U_{n+1}}+\sqrt[3]{U_n},\forall n\in \mathbb{N}$

Chứng minh rằng dãy $(U_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 2: Cho ba số thực $a,b,c$ biến thiên trong đoạn $[1;2]$ và thỏa mãn: $a+b+c=4$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

Bài 3: Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự $(a,b,c)$, với $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $[a,b,c]=2^3.3^5.5^7.7^{11}$ ? (Kí hiệu $[a,b,c]$ là bội chung nhỏ nhất của ba số $a,b,c$ nguyên dương)

Bài 4: Đường tròn nội tiếp $\Delta ABC (AB\ne AC)$, tiếp xúc với cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $FE$ cắt cạnh $AB$ tại $X$, giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $ABC$ là $T$. Chứng minh rằng: $TX\perp TF$

Cho 3 số thực a,b,c thuộc $[0;1]$. Tìm GTNN của 

$P= \frac{a^3+2}{b^2+1}+\frac{b^3+2}{c^2+1}+\frac{c^3+2}{a^2+1}$

Bài giải:

Ta cần chứng minh:$$\sum_{a,b,c} \frac{a^3+2}{b^2+1}\ge \frac{9}{2}(1)$$

Ta viết lại bất đẳng thức $(1)$ như sau:$$\sum_{a,b,c} \left(\frac{a^3+2}{b^2+1}-\frac{3}{2}\right)\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{a,b,c} \frac{2a^3-3b^2+1}{b^2+1}\ge 0(2)$$

Lại có: $2a^3+1\ge 3a^2 (AM-GM)$ nên từ $(2)$ ta cần chứng minh:$$\sum_{a,b,c} \frac{a^2-b^2}{b^2+1}\ge 0$$

$$\sum_{a,b,c} \frac{a^2+1}{b^2+1}\ge 3$$

(Vì $\frac{b^2}{b^2+1}=1-\frac{1}{b^2+1}$)

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng theo $AM-GM$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của

$\frac{2a+c}{1+ac}+\frac{2b+c}{1+bc}+\frac{a+b+c}{1\sqrt{2}abc}$

 

Bài này, mình đã giải ở đây