Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Primary

Đăng ký: 19-11-2012
Offline Đăng nhập: 19-06-2018 - 11:32
***--

#482417 Trận 3 - Phương trình Lượng giác

Gửi bởi Primary trong 10-02-2014 - 19:39

Ta có:$sin4x=sin(2.2x)=2sin2x.cos2x=2.2sinxcosx.cos2x=4sinx.cosx.cos2x$

          $cos3x+cosx=2.cos\frac{3x+x}{2}.cos\frac{3x-x}{2}=2cos2x.cosx$

Do đó PT $sin4x+2=cos3x+4sinx+cosx< = > 4.sinx.cosx.cos3x+2=2cos2x.cosx+4sinx< = > 4sinx(cosx.cos2x-1)-2(cosx.cos2x-1)=0< = > (2sinx-1)(cosx.cos2x-2)=0< = > 2sinx-1=0$ hoặc $cosx.cos2x-2=0$

-Nếu $2sinx-1=0= > sinx=\frac{1}{2}= > x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{-\pi }{6}+k2\pi$

-Nếu $cosx.cos2x-2=0< = > cosx.cos2x=2< = > cosx(2cos^2x-1)=2< = > 2cos^3x-cosx-2=0$. Đến đây dùng công thức nghiệm bậc 3 để giải là xong

Chỗ này là $\sin$ chứ không phải $\cos$. Bạn sai nghiệm rồi




#481762 Trận 3 - Phương trình Lượng giác

Gửi bởi Primary trong 07-02-2014 - 21:47



 Đề Bài

 

Giải phương trình lượng giác sau :

$$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$$

Toán thủ ra đề: hoangkkk

$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin x.2\cos x.\cos2x-(\cos 3x+\cos x)=4\sin x-2$

$\Leftrightarrow (\cos3x+\cos x)(2\sin x-1)=2(2\sin x-1)$

$\Leftrightarrow 2\sin x-1=0$  $ \vee$  $ \cos3x+\cos x=2$

$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$  $\vee$  $ 4\cos^3x-2\cos x-2=0$

$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$  $\vee$  $ (\cos x-1)\left [ 4\left ( \cos x+\frac{1}{2} \right )^2+1 \right ]=0$

$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$  $\vee$  $ \cos x=1$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$  $\vee$  $ x=\frac{5\pi}{6}+l2\pi$  $\vee$  $ x=m2\pi$      $,k,l,m\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :  $x=\frac{ \pi }{6}+k2\pi$  

                                                                       $ x=\frac{5\pi}{6}+l2\pi$              $,k,l,m\in \mathbb{Z}$

                                                                       $ x=m2\pi$   

$\boxed{\text{Điểm bài thi}:9.5}$

Điểm thảo luận: 1

S = 16.7 + 9.5*3+1 = 46.2




#475903 Trận 1 - PT, HPT

Gửi bởi Primary trong 07-01-2014 - 05:11



với việc đặt  t= $\cos a$ thì đã coi $t\in [-1;1]$ rồi còn gì

Việc đặt đó thực chất chỉ là xét trên đoạn $[-1;1]$ thôi chứ không phải là lúc nào cũng xem $t\in [-1;1]$




#475359 Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} 2x^3-3x=y...

Gửi bởi Primary trong 04-01-2014 - 22:19

ĐK:$x\geq 1$

Từ pt thứ 2 $= > (x-1)(x+1)=\sqrt{(x-1)(x-3)}(y-x+3)< = > \sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}(x+1)-(y-x+3))=0$

-Nếu $x-1=0= > x=1= > y=2x^3-3x=2-3=-1$

-Nếu $\sqrt{x-1}(x+1)-y+x-3=0= > \sqrt{x-1}(x+1)-2x^3+3x+x-3=0= > 2x^3-4x+3=\sqrt{x-1}(x+1)$

Đến đây giải nốt là xong

ĐK phải là $x\geq 3,x\leq 1$  và bạn rút căn ra sau đó chắc gì trong căn đã có nghĩa




#475269 Trận 1 - PT, HPT

Gửi bởi Primary trong 04-01-2014 - 17:43



Giải phương trình:


$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$         (*)

*Nếu $x=0$: $(*)\Leftrightarrow 2.4=0$  (Vô lí!)

 

*Nếu $x\neq 0$: Chia 2 vế của $(*)$ cho $x^3$ ta được

 

$2\left ( 4x^3+\frac{4}{x^3}-\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}} \right )=1-22x-\frac{22}{x}$

 

$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2.4.3x.\frac{1}{x}\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}=1-22\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

 

$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}-1=0$  (1)

 

*Đặt $t=x+\frac{1}{x},$  $|t|\geq 2$

 

$(1)\Leftrightarrow 8t^3-2t-2\sqrt[3]{6t+1}-1=0\Leftrightarrow (2t)^3-2.(2t)=(6t+1)+2\sqrt[3]{6t+1}$  (2)

 

Xét hàm số:  $f(y)=y^3+2y$  có đạo hàm  $f'(y)=3y^2+2>0$    $\forall y\in \mathbb{R}$

 

$\Rightarrow f(y)$  đồng biến trên  $\mathbb{R}$. Do đó

 

$(2)\Leftrightarrow f(2t)=f(\sqrt[3]{6t+1})\Leftrightarrow 2t=\sqrt[3]{6t+1}\Leftrightarrow 4t^3-3t=\frac{1}{2}$  (3)

 

*Ta chứng minh phương trình  (3) chỉ có nghiệm $t\in [-1;1]$.  Thật vậy:  

 

Đặt $t=\cos\alpha ,$  $\alpha \in \left [ 0;\pi \right ]$. Lúc đó

 

$(3)\Leftrightarrow 4\cos^3\alpha -3\cos\alpha =\frac{1}{2}$

 

$\Leftrightarrow \cos3\alpha =\frac{1}{2}$

 

$\Leftrightarrow \alpha =\pm \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$

 

$\Leftrightarrow \alpha =\frac{7\pi}{9}$  $\vee$  $ \alpha =\frac{5\pi}{9}$  $\vee$  $ \alpha =\frac{\pi}{9}$     (Do $\alpha \in [0;\pi]$)

 

 $\Rightarrow t=\cos\frac{7\pi}{9}$  $\vee$  $ t=\cos\frac{5\pi}{9}$  $\vee$  $ t=\cos\frac{\pi}{9}$

 

Mà phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm nên suy ra (3) có 3 nghiệm t như trên và 3 nghiệm đó thuộc

$[-1;1]$  

 

$\Rightarrow (2)$  chỉ có 3 nghiệm $t\in [-1;1]$ hay $(2)$ vô nghiệm trên $(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

 

 

$\boxed{Điểm: 7}$

S=10,7 + 7*3 =31,7




#471920 Giải PT:$x^{3}-2x^{2}-1=0$

Gửi bởi Primary trong 20-12-2013 - 19:23

Giải PT:$x^{3}-2x^{2}-1=0$

Bạn có thể không cần ghi tìm $a$, $\alpha$ mà đặt thằng $y=....$ sau khi tìm $a$, $alpha$

 

Đặt $y=x-a$. Thay vào pt  ta được:  Pt $\Leftrightarrow  y^3-(3a+2)y^2+(3a^2+4a)y-a^3-1=0$ (*)

 

Ta chọn  $a=-\frac{2}{3}$  để vế trái có dạng là hàm số lẻ. Lúc đó

 

$(*)\Leftrightarrow y^3-\frac{4}{3}y-\frac{19}{27}=0$  (**)

 

Tiếp tục đặt:  $y=t+\frac{\alpha}{t},t\neq 0$

 

$(**) \Leftrightarrow t^3+\frac{\alpha^3}{t^3}+(3\alpha-\frac{4}{3} ) t+  (3\alpha^2-\frac{4\alpha}{3})\frac{1}{t}-\frac{19}{27}=0$

 

Ta chọn $\alpha=\frac{4}{9}$ để  Pt$\Leftrightarrow t^3+\frac{64}{729.t^3}-\frac{19}{27}=0$

 

                                                         $\Leftrightarrow t^6-\frac{19}{27}.t^3-\frac{64}{729}=0$

 

                                                         $\Leftrightarrow t^3=.....$

 

Cách 2: bạn dùng công thức Cacdano, nếu trong chương trình phổ thông bạn phải làm từng bước mới được

 

Tùy bài tùy cách. Bài này hết cách bình thường rồi

 

P.s: xin lỗi bạn vì đã post trễ




#471784 $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+...

Gửi bởi Primary trong 19-12-2013 - 20:10

Bạn đánh giá chi tiết thử đi.

Nghe nói PT này có nhiều nghiệm lắm.Biết dấu = xảy ra ở đâu

Cái này khá thú vị. Chi tiết như sau (bạn có thể ghi ngắn gọn hơn cũng được) :

 

Áp dụng BĐT $|A|+|B|\geq |A+B|$: 

 

$|\sqrt{x-1}-2|+|\sqrt{x-1}-3|=|\sqrt{x-1}-2|+|3-\sqrt{x-1}|$

                                                     

                                                     $\geq |\sqrt{x-1}-2-\sqrt{x-1}+3|=1$

 

Do đó Pt $\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-2)(3-\sqrt{x-1})\geq 0$

               

               $\Leftrightarrow \frac{(x-5)(10-x)}{(\sqrt{x-1}+2)(3+\sqrt{x-1})} \geq 0$

               

               $\Leftrightarrow  (x-5)(10-x) \geq 0$   và  $x\geq 1$

               

               $\Leftrightarrow  5\leq x\leq 10$   

 

 

 

 




#471770 $\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x...

Gửi bởi Primary trong 19-12-2013 - 19:34

giải phương trình sau

$\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

Bạn xem ở đây




#471769 $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+...

Gửi bởi Primary trong 19-12-2013 - 19:28

ĐK..................

$\small PT\Leftrightarrow \sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+2^2}+\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+3^2}=1$

$\small \left | \sqrt{x-1}-2 \right |+\left | \sqrt{x-1}-3 \right |=1$

Đến đây OK, xét từng trường hợp là xong!

Bạn sử dụng $|A|+|B| \geq |A+B|$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $AB\geq 0$ sẽ nhanh hơn xét trường hợp đó




#471649 Đề thi chọn đội tuyển HSG TP Hà Nội

Gửi bởi Primary trong 18-12-2013 - 21:20

Bài hệ xem ở đây




#471612 Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y...

Gửi bởi Primary trong 18-12-2013 - 20:08



Giải HPT:

$\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & \\y^4+3=4x & \end{matrix}\right.$

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^4=4y-3 & & \\ y^4=4x-3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}y\geq \frac{3}{4} & & \\ x\geq \frac{3}{4} & & \end{matrix}\right.$    (*)

 

$\Rightarrow x^4-y^4+4x-4y=0\Leftrightarrow (x-y)[(x+y)(x^2+y^2)+4]=0\Leftrightarrow x=y$  (Do (*))




#471446 Đề thi HSG 11 THPT Nguyễn Chí Thanh

Gửi bởi Primary trong 17-12-2013 - 18:48

Bài 4 Tìm đa thức P(x) thỏa mãn đk:$P(x^2+y^2)=(P(x))^2+(P(y))^2$ với mọi x,y thuộc R      (*)

Mới học cái này :D

Thay $x=y=0$ ta được:  $P(0)=2(P(0))^2\Leftrightarrow P(0)=0$  $\vee$  $ P(0)=\frac{1}{2}$

 

TH1: Nếu $P(x)$ là 1 hằng số nghĩa là $P(x)\equiv C$ thì từ (*) ta có  

 

    $C=2C^2\Leftrightarrow C=0$   $\vee$   $ C=\frac{1}{2}$

 

$\Rightarrow P(x)\equiv 0$   $\vee$   $ P(x)\equiv \frac{1}{2}$

 

TH2: Nếu   $P(x)\not\equiv C$.  

 

Giả sử:       $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,a_n\neq 0$

 

Trong (*) lần lượt thay  $x=y=k$  và  $x=k$, $y=0$  ta được:    $\left\{\begin{matrix}P(2k^2)=2(P(k))^2 & & \\ P(k^2)=(P(k))^2+(P(0))^2 & & \end{matrix}\right.$

 

So sánh hệ số của bậc cao nhất:  $\left\{\begin{matrix} 2^na_n=a_n^2 & & \\ a_n=a_n^2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a_n=1 & & \\ n=1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow P(x)=x+b$,  $b$ là hằng số

 

Mà   $P(0)=0$  $\vee$  $ P(0)=\frac{1}{2}$     $\Rightarrow P(x)=x$  $\vee$  $ P(x)=x+\frac{1}{2}$

 

Thử lại: có 3 đa thức thỏa mãn là   $P(x)\equiv 0$, $P(x)\equiv \frac{1}{2}$, $P(x)\equiv x$




#471092 Đề thi HSG 12 tỉnh Gia Lai năm học 2013 - 2014

Gửi bởi Primary trong 15-12-2013 - 14:54

Câu 3.(2,5đ)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :

$$\left\{ \begin{array}{l}2^x - 2^{2 - y} + \ln \frac{x}{{2 - y}} = 0 \\ y^2 + 15y - xy + 2x + 5 = 0 \end{array} \right.$$

Em không thấy thảo luận tại đây là chỗ nào nên làm ở đây vậy

Câu 3:

 

ĐK: $\frac{x}{2-y}>0$

 

Nếu $x>2-y>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2^x>2^{2-y} & & \\ \frac{x}{2-y}>1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 2^x-2^{2-y}+\ln\frac{x}{2-y}>0$  (Vô lí !)

 

 Nếu $x<2-y<0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2^x<2^{2-y} & & \\ \frac{x}{2-y}<1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 2^x-2^{2-y}+\ln\frac{x}{2-y}<0$  (Vô lí !)

 

Do đó $x=2-y$. Thay vào phương trình thứ 2 của hệ được:  

 

 $2y^2+11y+9=0\Leftrightarrow y=-1$   $\vee$   $ y=-\frac{9}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=3 & & \\ y=-1 & & \end{matrix}\right. $$\vee$       $ \left\{\begin{matrix}x=\frac{13}{2} & & \\ y=-\frac{9}{2} & & \end{matrix}\right.$

 

Thử lại thấy 2 nghiệm này thỏa




#470747 $\left\{\begin{matrix}2^{x}-2^...

Gửi bởi Primary trong 13-12-2013 - 21:22

1/$\left\{\begin{matrix}2^{x}-2^{y}=y-x\\2x^{2} +4x-y^{2}=-3 \end{matrix}\right.$

2/$\left\{\begin{matrix} 2^{2}+2^{y}\leq 1\\x+y\geq -2 \end{matrix}\right.$

1)

Nếu $x>y\Rightarrow 2^x>2^y\Rightarrow 2^x-2^y>0>y-x$   (Vô lí!)

 

Nếu $x<y\Rightarrow 2^x<2^y\Rightarrow 2^x-2^y<0<y-x$

 

Vậy $x=y$.  Do đó Pt (2) $\Leftrightarrow$: $x^2+4x+3=0\Leftrightarrow x=-1$ $\vee $ $x=-3$

 

Thử lại: $x=y=-1$, $x=y=-3$ là nghiệm của hệ

 

2) Theo mình nghĩ là $2^x$ mới đúng

 

Áp dụng BĐT Cô-si: $2^x+2^y\geq 2\sqrt{2^{x+y}}=2\sqrt{2^{-2}}\Leftrightarrow 2^x+2^y\geq 1$

 

Do đó: hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x=2^y=\frac{1}{2} & & \\ x+y\geq -2 & & \end{matrix}\right. $ $\Leftrightarrow x=y=-1$

 

P.s: bạn xem có sai xót gì không :D




#470224 $\sqrt{x^{2}-x+1}=\frac{x^{3...

Gửi bởi Primary trong 10-12-2013 - 22:33

Giải phương trình 

$\sqrt{x^{2}-x+1}=\frac{x^{3}+2x^{2}-3x+1}{x^{2}+2}$

Đổ mồ hôi với bài này :D

 

Nhận thấy rằng $x=-\frac{5}{3}$ không là nghiệm của phương trình nên

 

Pt $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-x+1}-(x+2)=\frac{x^{3}+2x^{2}-3x+1}{x^{2}+2}-(x+2)$

 

    $\Leftrightarrow \frac{-5x-3}{\sqrt{x^2-x+1}+x+2}=\frac{-5x-3}{x^2+2}$

 

    $\Leftrightarrow x=-\frac{3}{5}$  $\vee$  $ \sqrt{x^2-x+1}=x^2-x$

 

Mà  $\sqrt{x^2-x+1}=x^2-x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-x\geq 0 & & \\ x^4-2x^3+x-1=0 & & \end{matrix}\right.$  (*)

 

Đặt $y=x-\frac{1}{2}$

 

$(*)\Leftrightarrow \left ( y-\frac{1}{2} \right )^4-2\left ( y-\frac{1}{2} \right )^3+y-\frac{1}{2}-1=0$

 

$\Leftrightarrow y^4-\frac{3}{2}y^2-\frac{11}{16}=0$  

 

$\Leftrightarrow y^2=\frac{3\pm 2\sqrt{5}}{4}$

 

$\Leftrightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$    

 

$\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$  (Thỏa mãn (*))

 

Thử lại, $x=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$,  $x=-\frac{3}{5}$ thỏa phương trình