Primary

Ta có:$sin4x=sin(2.2x)=2sin2x.cos2x=2.2sinxcosx.cos2x=4sinx.cosx.cos2x$

          $cos3x+cosx=2.cos\frac{3x+x}{2}.cos\frac{3x-x}{2}=2cos2x.cosx$

Do đó PT $sin4x+2=cos3x+4sinx+cosx< = > 4.sinx.cosx.cos3x+2=2cos2x.cosx+4sinx< = > 4sinx(cosx.cos2x-1)-2(cosx.cos2x-1)=0< = > (2sinx-1)(cosx.cos2x-2)=0< = > 2sinx-1=0$ hoặc $cosx.cos2x-2=0$

-Nếu $2sinx-1=0= > sinx=\frac{1}{2}= > x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{-\pi }{6}+k2\pi$

-Nếu $cosx.cos2x-2=0< = > cosx.cos2x=2< = > cosx(2cos^2x-1)=2< = > 2cos^3x-cosx-2=0$. Đến đây dùng công thức nghiệm bậc 3 để giải là xong

Chỗ này là $\sin$ chứ không phải $\cos$. Bạn sai nghiệm rồi

 Đề Bài

 

Giải phương trình lượng giác sau :

$$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$$

Toán thủ ra đề: hoangkkk

$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin x.2\cos x.\cos2x-(\cos 3x+\cos x)=4\sin x-2$

$\Leftrightarrow (\cos3x+\cos x)(2\sin x-1)=2(2\sin x-1)$

$\Leftrightarrow 2\sin x-1=0$  $ \vee$  $ \cos3x+\cos x=2$

$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$  $\vee$  $ 4\cos^3x-2\cos x-2=0$

$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$  $\vee$  $ (\cos x-1)\left [ 4\left ( \cos x+\frac{1}{2} \right )^2+1 \right ]=0$

$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$  $\vee$  $ \cos x=1$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$  $\vee$  $ x=\frac{5\pi}{6}+l2\pi$  $\vee$  $ x=m2\pi$      $,k,l,m\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :  $x=\frac{ \pi }{6}+k2\pi$  

                                                                       $ x=\frac{5\pi}{6}+l2\pi$              $,k,l,m\in \mathbb{Z}$

                                                                       $ x=m2\pi$   

$\boxed{\text{Điểm bài thi}:9.5}$

Điểm thảo luận: 1

S = 16.7 + 9.5*3+1 = 46.2

với việc đặt  t= $\cos a$ thì đã coi $t\in [-1;1]$ rồi còn gì

Việc đặt đó thực chất chỉ là xét trên đoạn $[-1;1]$ thôi chứ không phải là lúc nào cũng xem $t\in [-1;1]$

ĐK:$x\geq 1$

Từ pt thứ 2 $= > (x-1)(x+1)=\sqrt{(x-1)(x-3)}(y-x+3)< = > \sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}(x+1)-(y-x+3))=0$

-Nếu $x-1=0= > x=1= > y=2x^3-3x=2-3=-1$

-Nếu $\sqrt{x-1}(x+1)-y+x-3=0= > \sqrt{x-1}(x+1)-2x^3+3x+x-3=0= > 2x^3-4x+3=\sqrt{x-1}(x+1)$

Đến đây giải nốt là xong

ĐK phải là $x\geq 3,x\leq 1$  và bạn rút căn ra sau đó chắc gì trong căn đã có nghĩa

Giải phương trình:

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$         (*)

*Nếu $x=0$: $(*)\Leftrightarrow 2.4=0$  (Vô lí!)

 

*Nếu $x\neq 0$: Chia 2 vế của $(*)$ cho $x^3$ ta được

 

$2\left ( 4x^3+\frac{4}{x^3}-\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}} \right )=1-22x-\frac{22}{x}$

 

$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2.4.3x.\frac{1}{x}\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}=1-22\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

 

$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}-1=0$  (1)

 

*Đặt $t=x+\frac{1}{x},$  $|t|\geq 2$

 

$(1)\Leftrightarrow 8t^3-2t-2\sqrt[3]{6t+1}-1=0\Leftrightarrow (2t)^3-2.(2t)=(6t+1)+2\sqrt[3]{6t+1}$  (2)

 

Xét hàm số:  $f(y)=y^3+2y$  có đạo hàm  $f'(y)=3y^2+2>0$    $\forall y\in \mathbb{R}$

 

$\Rightarrow f(y)$  đồng biến trên  $\mathbb{R}$. Do đó

 

$(2)\Leftrightarrow f(2t)=f(\sqrt[3]{6t+1})\Leftrightarrow 2t=\sqrt[3]{6t+1}\Leftrightarrow 4t^3-3t=\frac{1}{2}$  (3)

 

*Ta chứng minh phương trình  (3) chỉ có nghiệm $t\in [-1;1]$.  Thật vậy:  

 

Đặt $t=\cos\alpha ,$  $\alpha \in \left [ 0;\pi \right ]$. Lúc đó

 

$(3)\Leftrightarrow 4\cos^3\alpha -3\cos\alpha =\frac{1}{2}$

 

$\Leftrightarrow \cos3\alpha =\frac{1}{2}$

 

$\Leftrightarrow \alpha =\pm \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$

 

$\Leftrightarrow \alpha =\frac{7\pi}{9}$  $\vee$  $ \alpha =\frac{5\pi}{9}$  $\vee$  $ \alpha =\frac{\pi}{9}$     (Do $\alpha \in [0;\pi]$)

 

 $\Rightarrow t=\cos\frac{7\pi}{9}$  $\vee$  $ t=\cos\frac{5\pi}{9}$  $\vee$  $ t=\cos\frac{\pi}{9}$

 

Mà phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm nên suy ra (3) có 3 nghiệm t như trên và 3 nghiệm đó thuộc

$[-1;1]$  

 

$\Rightarrow (2)$  chỉ có 3 nghiệm $t\in [-1;1]$ hay $(2)$ vô nghiệm trên $(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

 

 

$\boxed{Điểm: 7}$

S=10,7 + 7*3 =31,7

Giải PT:$x^{3}-2x^{2}-1=0$

Bạn có thể không cần ghi tìm $a$, $\alpha$ mà đặt thằng $y=....$ sau khi tìm $a$, $alpha$

 

Đặt $y=x-a$. Thay vào pt  ta được:  Pt $\Leftrightarrow  y^3-(3a+2)y^2+(3a^2+4a)y-a^3-1=0$ (*)

 

Ta chọn  $a=-\frac{2}{3}$  để vế trái có dạng là hàm số lẻ. Lúc đó

 

$(*)\Leftrightarrow y^3-\frac{4}{3}y-\frac{19}{27}=0$  (**)

 

Tiếp tục đặt:  $y=t+\frac{\alpha}{t},t\neq 0$

 

$(**) \Leftrightarrow t^3+\frac{\alpha^3}{t^3}+(3\alpha-\frac{4}{3} ) t+  (3\alpha^2-\frac{4\alpha}{3})\frac{1}{t}-\frac{19}{27}=0$

 

Ta chọn $\alpha=\frac{4}{9}$ để  Pt$\Leftrightarrow t^3+\frac{64}{729.t^3}-\frac{19}{27}=0$

 

                                                         $\Leftrightarrow t^6-\frac{19}{27}.t^3-\frac{64}{729}=0$

 

                                                         $\Leftrightarrow t^3=.....$

 

Cách 2: bạn dùng công thức Cacdano, nếu trong chương trình phổ thông bạn phải làm từng bước mới được

 

Tùy bài tùy cách. Bài này hết cách bình thường rồi

 

P.s: xin lỗi bạn vì đã post trễ

Bạn đánh giá chi tiết thử đi.

Nghe nói PT này có nhiều nghiệm lắm.Biết dấu = xảy ra ở đâu

Cái này khá thú vị. Chi tiết như sau (bạn có thể ghi ngắn gọn hơn cũng được) :

 

Áp dụng BĐT $|A|+|B|\geq |A+B|$: 

 

$|\sqrt{x-1}-2|+|\sqrt{x-1}-3|=|\sqrt{x-1}-2|+|3-\sqrt{x-1}|$

                                                     

                                                     $\geq |\sqrt{x-1}-2-\sqrt{x-1}+3|=1$

 

Do đó Pt $\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-2)(3-\sqrt{x-1})\geq 0$

               

               $\Leftrightarrow \frac{(x-5)(10-x)}{(\sqrt{x-1}+2)(3+\sqrt{x-1})} \geq 0$

               

               $\Leftrightarrow  (x-5)(10-x) \geq 0$   và  $x\geq 1$

               

               $\Leftrightarrow  5\leq x\leq 10$   

 

 

 

 

giải phương trình sau

$\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

Bạn xem ở đây

ĐK..................

$\small PT\Leftrightarrow \sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+2^2}+\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+3^2}=1$

$\small \left | \sqrt{x-1}-2 \right |+\left | \sqrt{x-1}-3 \right |=1$

Đến đây OK, xét từng trường hợp là xong!

Bạn sử dụng $|A|+|B| \geq |A+B|$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $AB\geq 0$ sẽ nhanh hơn xét trường hợp đó

Bài hệ xem ở đây

Giải HPT:

$\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & \\y^4+3=4x & \end{matrix}\right.$

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^4=4y-3 & & \\ y^4=4x-3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}y\geq \frac{3}{4} & & \\ x\geq \frac{3}{4} & & \end{matrix}\right.$    (*)

 

$\Rightarrow x^4-y^4+4x-4y=0\Leftrightarrow (x-y)[(x+y)(x^2+y^2)+4]=0\Leftrightarrow x=y$  (Do (*))

Bài 4 Tìm đa thức P(x) thỏa mãn đk:$P(x^2+y^2)=(P(x))^2+(P(y))^2$ với mọi x,y thuộc R      (*)

Mới học cái này

Thay $x=y=0$ ta được:  $P(0)=2(P(0))^2\Leftrightarrow P(0)=0$  $\vee$  $ P(0)=\frac{1}{2}$

 

TH1: Nếu $P(x)$ là 1 hằng số nghĩa là $P(x)\equiv C$ thì từ (*) ta có  

 

    $C=2C^2\Leftrightarrow C=0$   $\vee$   $ C=\frac{1}{2}$

 

$\Rightarrow P(x)\equiv 0$   $\vee$   $ P(x)\equiv \frac{1}{2}$

 

TH2: Nếu   $P(x)\not\equiv C$.  

 

Giả sử:       $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,a_n\neq 0$

 

Trong (*) lần lượt thay  $x=y=k$  và  $x=k$, $y=0$  ta được:    $\left\{\begin{matrix}P(2k^2)=2(P(k))^2 & & \\ P(k^2)=(P(k))^2+(P(0))^2 & & \end{matrix}\right.$

 

So sánh hệ số của bậc cao nhất:  $\left\{\begin{matrix} 2^na_n=a_n^2 & & \\ a_n=a_n^2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a_n=1 & & \\ n=1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow P(x)=x+b$,  $b$ là hằng số

 

Mà   $P(0)=0$  $\vee$  $ P(0)=\frac{1}{2}$     $\Rightarrow P(x)=x$  $\vee$  $ P(x)=x+\frac{1}{2}$

 

Thử lại: có 3 đa thức thỏa mãn là   $P(x)\equiv 0$, $P(x)\equiv \frac{1}{2}$, $P(x)\equiv x$

Câu 3.(2,5đ)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :

$$\left\{ \begin{array}{l}2^x - 2^{2 - y} + \ln \frac{x}{{2 - y}} = 0 \\ y^2 + 15y - xy + 2x + 5 = 0 \end{array} \right.$$

Em không thấy thảo luận tại đây là chỗ nào nên làm ở đây vậy

Câu 3:

 

ĐK: $\frac{x}{2-y}>0$

 

Nếu $x>2-y>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2^x>2^{2-y} & & \\ \frac{x}{2-y}>1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 2^x-2^{2-y}+\ln\frac{x}{2-y}>0$  (Vô lí !)

 

 Nếu $x<2-y<0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2^x<2^{2-y} & & \\ \frac{x}{2-y}<1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 2^x-2^{2-y}+\ln\frac{x}{2-y}<0$  (Vô lí !)

 

Do đó $x=2-y$. Thay vào phương trình thứ 2 của hệ được:  

 

 $2y^2+11y+9=0\Leftrightarrow y=-1$   $\vee$   $ y=-\frac{9}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=3 & & \\ y=-1 & & \end{matrix}\right. $$\vee$       $ \left\{\begin{matrix}x=\frac{13}{2} & & \\ y=-\frac{9}{2} & & \end{matrix}\right.$

 

Thử lại thấy 2 nghiệm này thỏa

1/$\left\{\begin{matrix}2^{x}-2^{y}=y-x\\2x^{2} +4x-y^{2}=-3 \end{matrix}\right.$

2/$\left\{\begin{matrix} 2^{2}+2^{y}\leq 1\\x+y\geq -2 \end{matrix}\right.$

1)

Nếu $x>y\Rightarrow 2^x>2^y\Rightarrow 2^x-2^y>0>y-x$   (Vô lí!)

 

Nếu $x<y\Rightarrow 2^x<2^y\Rightarrow 2^x-2^y<0<y-x$

 

Vậy $x=y$.  Do đó Pt (2) $\Leftrightarrow$: $x^2+4x+3=0\Leftrightarrow x=-1$ $\vee $ $x=-3$

 

Thử lại: $x=y=-1$, $x=y=-3$ là nghiệm của hệ

 

2) Theo mình nghĩ là $2^x$ mới đúng

 

Áp dụng BĐT Cô-si: $2^x+2^y\geq 2\sqrt{2^{x+y}}=2\sqrt{2^{-2}}\Leftrightarrow 2^x+2^y\geq 1$

 

Do đó: hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x=2^y=\frac{1}{2} & & \\ x+y\geq -2 & & \end{matrix}\right. $ $\Leftrightarrow x=y=-1$

 

P.s: bạn xem có sai xót gì không

Giải phương trình 

$\sqrt{x^{2}-x+1}=\frac{x^{3}+2x^{2}-3x+1}{x^{2}+2}$

Đổ mồ hôi với bài này

 

Nhận thấy rằng $x=-\frac{5}{3}$ không là nghiệm của phương trình nên

 

Pt $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-x+1}-(x+2)=\frac{x^{3}+2x^{2}-3x+1}{x^{2}+2}-(x+2)$

 

    $\Leftrightarrow \frac{-5x-3}{\sqrt{x^2-x+1}+x+2}=\frac{-5x-3}{x^2+2}$

 

    $\Leftrightarrow x=-\frac{3}{5}$  $\vee$  $ \sqrt{x^2-x+1}=x^2-x$

 

Mà  $\sqrt{x^2-x+1}=x^2-x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-x\geq 0 & & \\ x^4-2x^3+x-1=0 & & \end{matrix}\right.$  (*)

 

Đặt $y=x-\frac{1}{2}$

 

$(*)\Leftrightarrow \left ( y-\frac{1}{2} \right )^4-2\left ( y-\frac{1}{2} \right )^3+y-\frac{1}{2}-1=0$

 

$\Leftrightarrow y^4-\frac{3}{2}y^2-\frac{11}{16}=0$  

 

$\Leftrightarrow y^2=\frac{3\pm 2\sqrt{5}}{4}$

 

$\Leftrightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$    

 

$\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$  (Thỏa mãn (*))

 

Thử lại, $x=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$,  $x=-\frac{3}{5}$ thỏa phương trình