Primary

Tìm số thực $x$ thỏa mãn điều kiện sau :
$\left [ x \right ] + \left [ 2x \right ] + \left [ 4x \right ] + \left [ 8x \right ] + \left [ 16x \right ] + \left [ 32x \right ] = 12345$

Em có cách này :
Dễ thấy $n[x]\leq [nx]\leq n[x]+1,\forall n\in \mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \sum_{k=0}^{5}(2^k.[x])\leq \sum_{k=0}^{5}[2^k.x]\leq \sum_{1}^{5}(2^k.[x]+1)+[x]$
hay $63[x]\leq \sum_{k=0}^{5}[2^k.x]\leq 63[x]+5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}63[x]\leq 12345 & & \\ 12345\leq 63[x]+5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \frac{12340}{63}\leq [x]\leq \frac{4115}{21}$
(Vô lí)
Do vậy phương trình có tập nghiệm $S=\varnothing$

Lần này chắc tiêu tan sự nghiệp quá, các cách làm đa dạng mà cơ sở vững chắc

Đề thi HSG cấp huyện Tiền Giang năm 1998-1999

Bài 1 :
1) Khử căn ở mẫu của biểu thức sau và rút gọn
$A=\frac{20}{3+\sqrt{5}+\sqrt{2+2\sqrt{5}}}$
2) Cho $B=(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1})(\frac{1-x}{\sqrt{2}})^2$
a) Rút gọn B
b) Tìm max B
Bài 2 : Tìm số nguyên tố p sao cho p+10, p+14 cũng là số nguyên tố
Bài 3 :
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Qua tâm O của hình vuông dựng 1 đường thẳng tùy ý
1) Tính tổng bình phương khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến đường thẳng đó
2) Nhận xét kết quả câu 1)
Bài 4 :
Chứng minh rằng : chân các đường thẳng vuông góc hạ từ 1 điểm bất kì thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác lên các cạnh của tam giác nằm trên 1 đường thẳng.

Mình sẽ post đề thi Tiền Giang qua các năm

Em xin đính chính "$MA\geq 3\sqrt{5}$ là do $cost\leq 1\wedge 2MB\geq 2\sqrt{5}$"
Mở rộng : Cho điểm $K(x_k;y_k)$ nằm ngoài đường tròn $©:(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Tìm tọa độ của M sao cho độ dài MK nhỏ nhất, lớn nhất biết rằng M thuộc ©
Lời giải :
Chuyển về dạng phương trình tham số $©:\left\{\begin{matrix}x=a+Rsint & & \\ y=b+Rcost & & \end{matrix}\right. ,t\in [0;2\pi)$
$M\in ©\Rightarrow M(a+Rsint;b+Rcost)$
$MK^2=(a+Rsint-x_k)^2+(b+Rcost-y_k)^2=Xsint+Ycost+Z$
Trong đó $X=2R(a-x_k),Y=2R(b-y_k),Z=R^2+(a-x_k)^2+(b-y_k)^2$
Ta tìm min, max của hàm số y=asinx+bcosx với a,b khác 0 (1)
Chia 2 vế của (1) cho $\sqrt{a^2+b^2}$ ta được
$\frac{a.sinx}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b.cosx}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Vì $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1$ nên tồn tại góc $\delta$ sao cho $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cos\delta ,\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=sin\delta$
Khi đó $(1)\Leftrightarrow sinx.cos\delta +sin\delta .cosx=\frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow sin(x+\delta )=\frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (2)
Phương trình (2) có nghiệm khi
$\left | \frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}} \right |\leq 1\Leftrightarrow -\sqrt{a^2+b^2}\leq y\leq \sqrt{a^2+b^2}$
$\Rightarrow Miny=-\sqrt{a^2+b^2},Maxy=\sqrt{a^2+b^2}$
Áp dụng trên ta suy ra
$MaxMK=\sqrt{Z+\sqrt{X^2+Y^2}}$ khi $Xsint+Ycost=\sqrt{X^2+Y^2}$
$MinMK=\sqrt{Z-\sqrt{X^2+Y^2}}$ khi $Xsint+Ycost=-\sqrt{X^2+Y^2}$
__________________________________
Có thể nói "mở rộng" này của em là "thu hẹp" thì đúng hơn, vì biểu thức tìm cực trị còn mỗi một số hạng
Hơn nữa có thể chứng minh đơn giản bằng hình học là: "Kẻ từ $K$ qua tâm $I$ của đường tròn, ta được 2 giao điểm, một là gần nhất, cái còn lại là xa nhất"
Điểm thưởng: $d_t=5$ (là điểm cho cách làm thôi)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề của hoangkkk

Lời giải :
Chuyển phương trình đường tròn về dạng tham số $©:\left\{\begin{matrix}x=1+5sint & & \\ y=1+5cost & & \end{matrix}\right. ,t\in [0;2\pi)$
$M\in ©\Rightarrow M(1+5sint;1+5cost)$
$MA=\sqrt{(1+5sint-7)^2+(1+5cost-9)^2}=\sqrt{-60sint-80cost+125}$
$2MB=2\sqrt{(1+5sint)^2+(1+5cost-8)^2}=2\sqrt{10sint-70cost+75}$

(Bài làm của em đến đây thực sự bế tắc toàn tập!)

Do $cost\leq 1\Leftrightarrow -cost\geq -1,\forall t\in [0;2\pi)$
Dấu "=" xảy ra khi $cost=1$ khi đó sint=0
$\Rightarrow MA\geq \sqrt{-80+125}\Leftrightarrow MA\geq 3\sqrt{5}$
$2MB\geq 2\sqrt{75-70}\Leftrightarrow 2MB\geq 2\sqrt{5}$
Do vậy $P=MA+2MB\geq 5\sqrt{5}$
$\Rightarrow MinP=5\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}cost=1 & & \\ sint=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow M(1;6)$
Thử lại M(1;6) thỏa bài toán
Vậy M(1;6) là điểm cần tìm
_________________________________
Lập luận này có quá nhiều vấn đề!
Đầu tiên là $MA=\sqrt{-60sint-80cost+125}\ge 3\sqrt{5}$ là sai! Lấy $t=\dfrac{\pi}{4}$ mà xem
Tương tự $MB$ cũng thế
Thứ hai nữa là cho dù $2.MB$ có đạt min nhưng tại vị trí đó $MA$ đâu có đạt min? sao mà kết luận được gì về tổng?
Điểm bài làm: $d=3$
$S=3\times 3+5=14$ (Dưới $5$ điểm hoặc không làm được bài sẽ không có điểm thời gian!)

Cho đường tròn ©: $x^2+y^2-6x+5=0$. Tìm P thuộc © có tọa độ nguyên.

Gọi $P(x_o;y_o)$ là điểm thuộc (C) có $x_o;y_o\in \mathbb{Z}$
Thay vào phương trình đường tròn (C) và biến đổi ta được
$(y_o-3)^2=4-x^2\Rightarrow x^2\leq 4\Leftrightarrow -2\leq x\leq 2$
$\Leftrightarrow x\in {-2;-1;0;1;2}$
Đến đây tìm được tọa độ của P

Tìm ba chữ số tận cùng của số $\mathrm{A} = 26^{6^{2001}}$.

Ta có $6\equiv 6(\text{mod 1000}), 2001\equiv 1(\text{mod 1000}) \Rightarrow 6^{2001}\equiv 6(\text{mod 1000})$
$26\equiv 26(\text{mod 1000})\Rightarrow A\equiv 26^6\equiv 776(\text{mod 1000})$
Vậy 3 chữ số cuối cùng của A là 776

Chứng minh $\cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{1}{2}$

Nhận thấy rằng $\frac{\pi}{7}$ $,$ $\frac{3\pi}{7}$ $,$ $\frac{5\pi }{7}$ là nghiệm của phương trình $7x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \cos 3x = -\cos 4x \Leftrightarrow 8\cos^{4}x + 4\cos^{3}x - 8\cos^{2}x - 3\cos x + 1 = 0$. Đặt $t = \cos x$ $\Rightarrow$ $\cos \frac{\pi}{7}$ $,$ $\cos \frac{3\pi}{7}$ $,$ $\cos \frac{5\pi}{7}$ là nghiệm của $8t^4 + 4t^3 - 8t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow 8t^3 - 4t^2 - 4t + 1 = 0$ (do $\cos \frac{\pi}{7}$ $,$ $\cos\frac{3\pi}{7}$ $,$ $\cos \frac{5\pi}{7}$ $\neq$ $-1$). Theo đinh lí Viète ta có $t_1 + t_2 + t_3 = \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow$ $\mathrm{Q.E.D}$

Cho A(1;3)
B(5;1)
Tìmtập hợp các điểm M thỏa hệ thức $\vec{MA}.\vec{MB}=MO^{2}$

Gọi M( x ; y)
Ta có : $\overrightarrow{MA}=(1-x;3-y),\overrightarrow{MB}=(5-x;1-y),\overrightarrow{MO}=(-x;-y)$
Theo đề bài : $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MO^{2}\Leftrightarrow (1-x)(5-x)+(3-y)(1-y)=x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow 3x+2y-4=0$
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng 3x+2y-4=0

Trong hệ trục toạ độ $Oxy$ cho $A(1;3)$, $B(3;1)$, $C(-1;-1)$.
Tìm toạ độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Có 2 cách :
Cách 1: gọi AD là phân giác góc A. Tính được tọa độ điểm D rồi suy ra tọa độ của I
Cách 2: sử dụng $a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=0$

Tranh luận vui một chút!

Mệnh đề "Nếu con chó sủa meo meo thì $3+4=3\times 4$ "

là hoàn toàn đúng về logic.

Khi giả thiết đã sai thì kết luận thế nào cũng được!

Tuy nhiên: Đó là cái mệnh đề đấy đúng chứ có phải $3+4=3\times 4$ đúng đâu?

Em có cái này không biết đúng không
$-1=(-1)^{3}=(-1)^{6.\frac{1}{2}}=[(-1)^{6}]^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1 \Rightarrow 3+4=7+\frac{5}{2}.1+\frac{5}{2}.(-1)=7+5=12=3.4$

Tìm Max P biết rằng
$P=\sqrt[n]{\frac{\prod_{i=1}^{n}a_i.(1-\sum_{j=1}^{n}aj)}{\sum_{k=1}^{n}a_k.\prod_{m=1}^{n}(1-a_m)}}$
trong đó $a_z>0, \sum_{z=1}^{n}a_z<1, (z=1,...n)$

Giải phương trình :
$\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } = x$
( có n dấu căn)

Phương trình đã cho tương đương với
$x^{2}=x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}\Leftrightarrow x^{2}-x-2x=0$ ( do có n dấu căn)
$\Leftrightarrow x^{2}-3x=0\Leftrightarrow x=0\vee x=3$
Thử lại cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình

Bài này cách làm đa dạng là do biến hóa một bài bất đẳng thức