Cho các số thực dương thay đổi a, b, c và số tự nhiên k thỏa mãn abc=1 và $k\geq 2$. Tìm Max P biết rằng $P=\sum \frac{a^{k-1}b^{k-1}}{a^{2k+1}+b^{2k+1}+a^{k-1}b^{k-1}}$
Chứng minh mở rộng :
Ta có $a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}+...-ab^{2k-1}+b^{2k}) =(a+b)[(a+b)^{2}(a^{2k-2}+...+b^{2k-2})+a^{k}b^{k}]\geq a^{k}b^{k}(a+b)$ (Do a,b >0)
$\Rightarrow a^{2k+1}+b^{2k+1}\geq a^{k}b^{k}(a+b)$
Suy ra $P\leq \sum \frac{a^{k-1}b^{k-1}}{a^{k}b^{k}(a+b)+a^{k}b^{k}} \Leftrightarrow P\leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\sum \frac{c}{a+b+c} \Leftrightarrow P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}abc=1 & & & \\ a=b=c & & & \\ a,b,c>0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=c=1$
Vậy Max P=1 khi a=b=c=1
______________________________
Điểm mở rộng
$d_{mr}=10$
- hxthanh, 19kvh97 và carljohnson1997 thích