Primary

Làm sao có thể suy ra như vậy được!!!

Chuyển vế và bình phương:

Pt $\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}.x}{\sqrt{1+x^2}}=1-x$

    $\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}.x}{1-x}=\sqrt{1+x^2}$

    $\Leftrightarrow \frac{8x^2}{(1-x)^2}=1+x^2$

2)   $x+\frac{2\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^{2}}}=1$

Do $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình nên

Pt $\Leftrightarrow 1+x^2=\frac{8x^2}{(1-x)^2}$

    $\Leftrightarrow (1+x^2)(1+x^2-2x)=8x^2$

    $\Leftrightarrow (1+x^2)^2-2x(1+x^2)+x^2=9x^2$

    $\Leftrightarrow 1+x^2-x-3x=0$  $\vee$  $ 1+x^2-x+3x=0$

    $\Leftrightarrow x=2\pm \sqrt{3}$  $\vee$  $x=-1$

Bài này là nằm trong đề thi Đồng bằng sông Cửu Long năm 2009-2010 mà

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} y^{2}+xy^{2}=6x^{2}\\ 1+x^{2}y^{2}=5x^{2} \end{matrix}\right.$

Bạn xem ở đây

Phương trình này có 2 nghiệm hữu tỉ và 2 nghiệm rất lẻ.... 

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(x+y)=4y\\ (x^{2}+1)(y+x-2)=y \end{matrix}\right.$

Nhận thấy $y\neq 0$ vì $y=0$ thì phương trình thứ I vô nghiệm

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(x+y)=4y\\ (x^{2}+1)(y+x-2)=y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+1=-y(x+y-4) & & \\ (x^2+1)(x+y-2)=y & & \end{matrix}\right. $

$\Rightarrow$ $-y(x+y-4)(x+y-2)=y\Leftrightarrow  (x+y)^2-6(x+y)+8=-1$      

$\Leftrightarrow  y=3-x$

Lúc đó: phương trình (1)  $x^2+1=4y-3y\Leftrightarrow x^2+1=3-x\Leftrightarrow x=1$ $\vee$ $ x=-2$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ y=2 & & \end{matrix}\right.$  $ \vee$  $ \left\{\begin{matrix}x=-2 & & \\ y=5 & & \end{matrix}\right.$

Bài 1.Giải phương trình $log_3\frac{x^2+3x+3}{2x^2+2x+3}=x^2-x$

Bài 3 Cho dãy (xn) thỏa mãn $x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2};x_0=2$

a) Tìm limun

b)Chứng minh rằng x₁+x₂+...+x₂₀₀₈<2009

Chú ý tiêu đề

Bài 1:

Đặt $u=x^2+3x+3,v=2x^2+2x+3$,   $u,v>0$

$pt\Leftrightarrow \log_3\frac{u}{v}=v-u\Leftrightarrow \log_3u+u=\log_3v+v$  (*)

Xét hàm số: $f(t)=\log_3t+t,$  $t>0$  có  $f'(t)=\frac{1}{t.\ln 3}+1>0,\forall t>0$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $R^+$

Do đó  $(*)\Leftrightarrow f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow x^2-x=0$ $\Leftrightarrow x=0\vee x=1$

Thử lại: $x=0,x=1$ thỏa mãn

Bài 3:

Đặt $x_n=y_n+t$. Thay vào công thức truy hồi ta được:

$y_{n}+t=\frac{2y_{n-1}+2t+1}{y_{n-1}+t+2}\Rightarrow y_n=\frac{(2-t)y_{n-1}-t^2+1}{y_{n-1}+t+2}$

Chọn $t$: $-t^2+1=0\Rightarrow t=1$

$\Rightarrow y_n=\frac{y_{n-1}}{y_{n-1}+3}\Rightarrow \frac{1}{y_n}=1+\frac{3}{y_{n-1}}$ (*)

Tiếp tục đặt: $v_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{y_n}$

Từ (*) $\Rightarrow v_n=3v_{n-1}$ nên $(v_n)$ là cấp số nhân với  $\left\{\begin{matrix}v_1=\frac{9}{2} & & \\ q=3 & &\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow v_n=\frac{3^{n+1}}{2}$ $\Rightarrow x_n=\frac{3^{n+1}+1}{3^{n+1}-1}$, $\forall n \in N$

a) $\lim x_n=\lim \frac{3^{n+1}+1}{3^{n+1}-1}=1$

b) 

Ta có: $x_n=\frac{3^{n+1}+1}{3^{n+1}-1}<1+\frac{1}{3^{n+1}},\forall n \in \mathbb{N}$

$\Rightarrow x_1+...+x_{2008}<2008+\frac{1}{3^1}+...+\frac{1}{3^{2009}}=2008+\frac{1-\frac{1}{3^{2009}}}{2}<2009$

$\Rightarrow$ Đpcm

$\left\{\begin{matrix}x^{3}+4y=y^{3}+4x\\ x^{4}+2y^{2}=1\end{matrix}\right.$

Hệ phương trình $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3-4x=y^3-4y & & \\ x^4+2y^2=1 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3-4x=y^3-4y & & \\ x^4+2y^2=1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow -1\leq x,y\leq 1$

Xét hàm số: $f(t)=t^3-4t,t\in [-1;1]$ có $f'(t)=3t^2-4<0,\forall t\in [-1;1]$

$\Rightarrow f(t)$ nghịch biến trên $ [-1;1]$

Do đó: $x^3-4x=y^3-4y\Leftrightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y$

Thay vào phương trình thứ 2: $x^4+2x^2-1=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}$

Kết luận: $x=y=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}$

Đây là cách của mình mọi người xem có lỗi chỗ nào ko nhé : 

$\left\{\begin{matrix} \ x^3=3y^3-3z+1\ & & \\ \ y^3=3z^2-3x+1\ & & \\ \ z^3=3x^2-3y+1\ & & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix} x= \frac{y^3-3z^2-1}{3} & & \\ y= \frac{z^3-3x^2-1}{3} & & \\ z= \frac{x^3-3y^3-1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Nếu $x>y$ ta chia 2 TH:

TH1: $y<z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $z>x>y$

lại có: $y=\frac{z^3-3x^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $y>x$ (vô lý)     Có vần đề thì phải: $-3x^2>-3z^2$ có đúng khi $x<z<0$  không

TH2 $x>y>z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^3-1}{3} > \frac{z^3-3x^2-1}{3}=y$ => $z>y$ (vô lý)

Nếu $x<y$ tương tự => $x=y=z$ thế vào hệ => $x=y=z=1$

Cách của mình: 

Từ hệ suy ra $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$ (*)

*Nếu $x=0$, $(*)\Leftrightarrow z=2-y$. 

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: $3y^2-3y+7=0$    (Phương trình vô nghiệm)

*Tương tự, $y=0$, $z=0$ hệ cũng vô nghiệm nên $xyz\neq 0$

*Đặt $x=ay=bz,ab\neq 0$

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3=\frac{3}{a^2}.x^2-\frac{3}{b}.x+1 & & & \\ x^3=\frac{3a^3}{b^2}.x^2-3a^3.x+a^3 & && \\ x^3=3b^2.x^2-\frac{3b^3}{a}.x+b^3 & & & \end{matrix}\right.$

Đống nhất hệ số, ta được $a=b=1$  $\Rightarrow x=y=z$

$(*)\Leftrightarrow 3(x-1)^3=0\Leftrightarrow x=1$

Thử lại, $x=y=z=1$ thỏa mãn

2,  hòa tan hoàn toàn 3,84g Cu vào 94,5g HNO3 20% thu được dd A và khí X. Cho dd A tác dụng vừa đủ với 0,18 mol NAOH. Tính C% chất tan trong dd

Nếu đề từng chữ là như vậy thì chỉ có cách này.

Nhân thấy là dd $HNO_3$ là dd axit loãng và chỉ thu được khí X nên X là $NO$

$3Cu+8HNO_3\rightarrow 3Cu(NO_3)_2+2NO+4H_2O$
$n_{Cu(NO_3)_2}=n_{Cu}=0,06$ (mol),   $n_{HNO_3)}=0,3$  (mol),   $n_{NO}=0,04$ (mol)

$\Rightarrow$ Số mol $HNO_3$ dư : $n'_{HNO_3}=0,3-\frac{0,06.8}{3}=0,14$ (mol)

$Cu(NO_3)_2+2NaOH\rightarrow Cu(OH)_2+2NaNO_3$

$HNO_3+NaOH\rightarrow NaNO_3+H_2O$

$\Rightarrow$ $n_{NaNO_3}=n_{NaOH}=0,18$ (mol)

                        axit dư:  $n_{HNO_3}=0,14-(0,18-2.0,06)=0,08$ (mol)

Khối lương dd thu được: $m_{dd}=94,5+3,84+0,18.40-0,04.30-0,06.188=93,06$ (g)

Vậy   $C$%$(NaNO_3)=16,44$%

          $C$%$HNO_3=5,42$%

Câu 1 (5 điểm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x^{3}}=y-\frac{1}{y^{3}}\\ (x-4y)(2x-y+4)=-36 \end{matrix}\right.$

 

ĐK :$xy \neq 0$

Xét hàm $f(t)=t-\frac{1}{t^3}$  ,$t\neq 0$

              $f'(t)=1+3t^{-4}>0$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến với mọi $t\neq 0$

Nên pt (1) $\Leftrightarrow x=y$

Do vậy $(2)\Leftrightarrow -3y.(y+4)=-36\Leftrightarrow y=2 \vee y=-6$

Vậy $S={(2;2);(-6;-6)}$

Bài 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau:

2. $\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2\sqrt{x^{2}-x+1}= 9x-3$

pt $\Leftrightarrow \frac{9x-3}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}=9x-3$

    $\Leftrightarrow 9x-3=0$

  $\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$ (Thỏa diều kiện)

(Do $\frac{1}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}\leq \frac{1}{2.\sqrt{\frac{3}{4}}}<1$)

Vậy $x=\frac{1}{3}$ 

2.Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3^{x+y}-\sin(5y-x)=3y-3x+1\\3^{5y-x}-\sin(x+y)=-x-y+1 \end{matrix}\right.$

Từ hệ suy ra: 

$3^{x+y}-3^{5y-x}-\sin(5y-x)+\sin(x+y)=4y-2x$

$\Leftrightarrow 3^{x+y}+x+y+\sin(x+y)=3^{5y-x}+\sin(5y-x)+5y-x$ (*)

Xét hàm số : $f(t)=3^t+t+\sin t$  có  $f'(t)=3^t.\ln 3+1+\cos t>0,\forall t\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow  f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

$(*)\Leftrightarrow x+y=5y-x\Leftrightarrow x=2y$

Thay vào pt (2) : $(2)\Leftrightarrow g(3y)=3^{3y}-\sin3y+3y-1=0$

Vì $g'(y)=3^y.\ln 3-\cos y+1>0 ,\forall y\in \mathbb{R}$ và $g(0)=0$

$\Rightarrow x=y=0$ là nghiệm duy nhất của hệ

                                             

          Giải hệ phương trình

                                 $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5} & & \\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6 & & \end{matrix}\right.$             

Từ pt (2) suy ra $2y^2+8y+9=-x^2+4x+9$  .Thay vào (1):

$(1)\Leftrightarrow 3+2x^{2}-4x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=\left ( \sqrt{y^2+4y+5}+y+2 \right )^2 $

$\Leftrightarrow (x-1+\sqrt{x^{2}-2x+2})^2=\left ( \sqrt{y^2+4y+5}+y+2 \right )^2$

$\Leftrightarrow [x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}]^2=\left [\sqrt{(y+2)^2+1}+y+2 \right ]^2$  

*Nếu    $x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}=\sqrt{(y+2)^2+1}+y+2$   (*)

     Xét hàm $f(t)=\sqrt{t^2+1}+t$

                   $f'(t)=\frac{t+\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{t^2+1}}\geq 0,\forall t\in \mathbb{R}$

    $\Rightarrow f(t)$  đồng biến trên $\mathbb{R}$

    Do vậy $(*)\Leftrightarrow x-1=y+2\Leftrightarrow x=y+3$ 

    Thay vào pt (2) thì pt này vô nghiệm

*Nếu $-x+1-\sqrt{(x-1)^2+1}=\sqrt{(y+2)^2+1}+y+2$  hay $x-1\neq y+3$  (**)

    $pt \Leftrightarrow x+y+1+\sqrt{(y+2)^2+1}+\sqrt{(x-1)^2+1}=0$

    $\Leftrightarrow(x+y+1).\left [1+ \frac{y-x+3}{\sqrt{(y+2)^2+1}-\sqrt{(x-1)^2+1}} \right ]=0$

    $\Leftrightarrow x=-y-1$     (Do (**) )

    Thay vào pt (2):   $(2) \Leftrightarrow y=-1 \vee y=-\frac{11}{3}$

Vậy $S=\left \{ (0;-1);\left ( \frac{8}{3};-\frac{11}{3} \right ) \right \}$

Ta có $\sin^n (x)<x \forall n \in \mathbb{N}, x\in [0,1]$ nên 

$\left | \frac{\sin^n x}{x} \right |\leq 1$ trên $(0,1]$

Áp dụng định lí hội tụ bị chặn ta có:

$\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}\frac{\sin^n x}{x}dx=\int_{0}^{1}\lim_{n\to \infty} \frac{\sin^n x}{x}dx$

Dễ kiểm chứng rằng

$\lim_{n\to \infty} \frac{\sin^n x}{x}=0$ 

nên ta có:

$P=0$

Bạn có thể chứng minh dòng này không ? Theo mình thì hàm đã hội tụ thống nhất và khả tích chưa khi bạn có được dòng đó

Giải phương trình

$$\sqrt[3]x+1=\sqrt{x+1}.$$

ĐK : $x\geq -1$

$pt\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}\Leftrightarrow x=0$  $\vee$   $\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3]{x}+2$

$\Leftrightarrow x=0$  $\vee$  $x=-1$  $\vee x=8$