Mình nghĩ câu hệ pt chắc là số 4 chứ : http://diendantoanho...trình/?p=451605
- Zaraki yêu thích
Gửi bởi Primary trong 19-09-2013 - 05:34
Gửi bởi Primary trong 19-09-2013 - 05:33
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2y+3}+\sqrt{2x+3y+4}& =9\\ \sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}& =27 \end{matrix}\right.$
*Nếu $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2y+3}=\sqrt{2x+3y+4} & & \\ \sqrt{18x+19y+20}=\sqrt{21x+22y+23} & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x+y+1=0$
Từ pt (1) của hệ suy ra:
$2\sqrt{y+2}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{-77}{4} & \\ y=\frac{73}{4} & \end{matrix}\right.$
*Trường hợp ngược lại: $x+y+1\neq 0$ (*)
Trục căn ở tử suy ra : $\sqrt{x+2y+3}-\sqrt{2x+3y+4}-\sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}=0$
$\Rightarrow \sqrt{x+2y+3}+\sqrt{21x+22y+23}=0$ (Vô nghiệm do (*) )
Vậy hệ chỉ có nghiệm $ \left\{\begin{matrix}x=\frac{-77}{4} & \\ y=\frac{73}{4} & \end{matrix}\right.$
Gửi bởi Primary trong 18-09-2013 - 19:27
cho 3 số dương a;b;c thoả mãn
a+b+c$\leq$3
tìm min của S=$\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ca+1}$
thank a lot
Theo BĐT Cauchy-Swachrzt:
$S\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^2}{3}}$
$\Leftrightarrow S\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=1$
Gửi bởi Primary trong 18-09-2013 - 19:16
Lời giải. Điều kiện: $x \ge -3, x \ne 0$. Phương trình tương đương với $$\begin{array}{l} 2x\sqrt{x+3}=x^2+10x-7 \\ \Leftrightarrow (x-1) \left( \frac{2x}{ \sqrt{x+3}+2}- x-7 \right)=0 \end{array}$$
Phương trình $\frac{2x}{ \sqrt{x+3}+2}=x+7 \Leftrightarrow (x+7) \sqrt{x+3}+14=0$ $\Leftrightarrow x= \frac 13 \left( -17+ \sqrt[3]{\frac{4691}{2}- \frac{39\sqrt{14457}}{2}}+ \sqrt[3]{ \frac 12 (4691+39 \sqrt{14457})} \right)$
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Chỗ này có cách khác: Trước khi giải pt ban đầu bạn thêm vào
$ \frac{x^2+10x-7}{2x}\geq 0\Leftrightarrow x\geq -5+4\sqrt{2}$
$\Rightarrow (x+7)\sqrt{x+3}+14>0,\forall x\geq -5+4\sqrt{2}$
Do vậy, pt chỉ có 1 nghiệm $x=1$
Gửi bởi Primary trong 18-09-2013 - 12:08
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left ( 3+3y+y^{2} \right )x^{3}=3y^{2} & & \\ \left ( 3+3z+z^{2} \right )y^{3}=3z^{2}& & \\ \left ( 3+3x+x^{2} \right )z^{3}=3x^{2}& & \end{matrix}\right.$
Hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3}=\frac{1}{x^3} & & & \\ \frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+\frac{1}{3}=\frac{1}{y^3} & & & \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{z^3} & & & \end{matrix}\right.$
Đặt $\frac{1}{x}=a,$ $\frac{1}{y}=b,$ $\frac{1}{z}=c$ với $a,b,c>0$
Thay vào hệ, bạn làm như trên và xét hàm số bằng phương pháp của THCS
Gửi bởi Primary trong 17-09-2013 - 19:44
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left ( 3+3y+y^{2} \right )x^{3}=3y^{2} & & \\ \left ( 3+3z+z^{2} \right )y^{3}=3z^{2}& & \\ \left ( 3+3x+x^{2} \right )z^{3}=3x^{2}& & \end{matrix}\right.$
*Nhận xét rằng $(0;0;0)$ là 1 nghiệm của hệ
*Nếu $x,y,z\neq 0$. Từ phương trình suy ra $x,y,z>0$
Xét 2 hàm số: $f(t)=\frac{3t^2}{t^2+3t+3}$
$g(u)=u^3$
Hệ trở thành: $\left\{\begin{matrix}g(x)=f(y) & \\ g(y)=f(z) & \\ g(z)=f(x) & \end{matrix}\right.$
Mà $f'(t)=\frac{9t^2+18t}{(t^2+3t+3)^2}>0$
$g'(u)=3u^2>0$
$\Rightarrow f(t)$ và $g(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}^+$
Giả sử $x\geq y\geq z$.
$y\geq z\Leftrightarrow g(y)\geq g(z)\Leftrightarrow f(z)\geq f(x)\Leftrightarrow z\geq x$
$\Rightarrow x=y=z$
Thay vào (1): $x(x^2+3x+3)=3\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x-3=0$
Đến đây là được rồi
Gửi bởi Primary trong 16-09-2013 - 20:59
b) Giải hệ phương trình:
Xét hàm số: $f(t)=t.e^t, t>0$ có $f'(t)=e^t>0,\forall t>0$
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}^+$
Do vậy $(*)\Leftrightarrow x=y$
Thay vào pt thứ 2 của hệ ta được : $3\log_2(5x+6)-2\log_2(3x+2)-1=0$
Đến đây là đươc rồi
Gửi bởi Primary trong 16-09-2013 - 12:57
bài 2
$x^{3}+\sqrt{(1-x^{2})^{3}}=x\sqrt{2(1-x^{2})}$
Đặt $x=\cos t,0\leq t\leq \pi$
$pt\Leftrightarrow \cos^3t+\sin^3t=\cos t.\sin t\sqrt{2}\Leftrightarrow (\sin t+\cos t)(1-\sin t.\cos t)=\sin t.\cos t\sqrt{2}$
Đặt $\sin t+\cos t=y$ , $|y|\leq \sqrt{2}$
$(*)\Leftrightarrow y\left ( 1-\frac{y^2-1}{2} \right )=\frac{y^2-1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow ....$
Gửi bởi Primary trong 14-09-2013 - 22:02
Đây là đề thi chính thức:
Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+ln(x^{2}-x+1)=y-x^{3}+3\\3y+ln(y^{2}-y+1)=z-y^{3}+3 \\3z+ln(z^{2}-z+1)=x-z^{3}+3 \end{matrix}\right.$.
Xét 2 hàm số: $f(t)=x^3+3x+\ln(x^2-x+1)$
$g(u)=u+3$
Đạo hàm: $f'(t)=3t^2+3+\frac{2t-1}{t^2-t+1}=3t^2+\frac{3t^2-t+2}{t^2-t+1}>0$
$g'(u)=1>0$
$\Rightarrow$ hàm $f(t)$ và $g(u)$ đồng biến trên R
Giả sử $x\geq y\geq z$
$hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x)=g(y) & \\ f(y)=g(z) & \\ f(z)=g(x) & \end{matrix}\right.$
$y\geq z\Rightarrow f(y)\geq f(z)\Leftrightarrow g(z)\geq g(x) \Leftrightarrow z\geq x$
$\Rightarrow x=y=z$
Thay vào pt (1): $f(x)=x^3+2x+\ln(x^2-x+1)-3=0$
$f'(x)=3x^2+2+\frac{2x-1}{x^2-x+1}=3x^2+\frac{2x^2+1}{x^2-x+1}>0,\forall x$
Mà $f(1)=0$ nên $x=y=z=1$ là nghiệm duy nhất của hệ
Gửi bởi Primary trong 12-09-2013 - 22:12
Thử sức xem sao:
Bài 1:
Thay $y=x$ ta được: $f(2x)=2x^2f\left ( \frac{1}{x} \right )$
$\Rightarrow f(x+y)=\frac{f(2x)+f(2y)}{2}$
+Vì $f\left ( \frac{x+1}{x} \right )=f\left ( \frac{1}{x}+1 \right )=\frac{1}{x^2}f(x)+f(1)$
và $f\left ( \frac{x+1}{x} \right )=2\left ( \frac{x+1}{2x} \right )^2.f\left ( \frac{2x}{x+1} \right )$
$=\frac{(x+1)^2}{2x^2}.\left [ 4f\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{4}{(x+1)^2}.f\left ( -\frac{x+1}{2} \right ) \right ]$
$=\frac{(x+1)^2}{2x^2}.\left [ 4f\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{4}{(x+1)^2}.\left ( 2f(0)-\frac{f(x)+f(1)}{2} \right) \right ]$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2}f(x)+f(1)=\frac{(x+1)^2}{2x^2}\left [ 4f\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{4}{(x+1)^2}.\left ( 2f(0)-\frac{f(x)+f(1)}{2} \right) \right ]\Rightarrow 2f(x)+f(1)x^2=2(x+1)^2f\left ( \frac{1}{2} \right )+4f(0)-f(1)$
$\Rightarrow 2f(x)=\left ( 2f\left ( \frac{1}{2} \right )-f(1) \right )x^2+4f\left ( \frac{1}{2} \right )x+2f\left ( \frac{1}{2} \right )+4f(0)-f(1)$ (*)
+Thay $x=1$ vào (*) ta được $f(1)=2f\left ( \frac{1}{2} \right )+f(0)$
+Thay lại vào (*) ta có: $2f(x)=-f(0)x^2+4f\left ( \frac{1}{2} \right )x+3f(0)$ (**)
+Thay $x=\frac{1}{2}$ vào (**) : $2f\left ( \frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{4}f(0)+2f\left ( \frac{1}{2} \right )+3f(0)\Leftrightarrow f(0)=0$ (***)
Từ (**) và (***) suy ra $f(x)=2f\left ( \frac{1}{2} \right )x\Leftrightarrow f(x)\equiv Cx$, $C$ là hằng số
Vậy hàm cần tìm là $f(x)=Cx$ với $C$ là hằng số
Gửi bởi Primary trong 11-09-2013 - 22:45
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2x-y}=\sqrt{4x-2y-1}+2x-y & & \\ 2x^{2}+2xy-y^{2}-3=0 & & \end{matrix}\right.$
Đặt $\sqrt{2x-y}=a$
$(1)\Leftrightarrow 2a=\sqrt{2a-1}+a^2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^4-4a^3+4a^2-2a+1=0 & & & \\ 0\leq a\leq 2 & & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow (a-1)(a^3-3a^2+a-1)=0\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow y=2x$
Thế vào phương trình (2) và giải tiếp
Gửi bởi Primary trong 11-09-2013 - 21:04
Cầu này chắc viết sai đề thì phải, nếu là dấu "+" thì sẽ ra nghiệm rất lẽ. Mình giải khi đó là dấu "-"
Câu 2a)
ĐK: $-1\leq x\leq 1$
Đặt $x=\cos t,0\leq t\leq \pi$
$pt\Leftrightarrow \sqrt{2(1+\sin t)}[\sqrt{(1+\cos t)^3}-\sqrt{(1-\cos t)^3}]=5\cos t$
$\Leftrightarrow \sqrt{2.\left ( \sin\frac{t}{2}+\cos\frac{t}{2} \right )^2}.2\sqrt{2}\left ( \cos^3\frac{t}{2}-\sin^3\frac{t}{2} \right )=5\cos t$
$\Leftrightarrow 4\left ( \cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2} \right ).\left (1+\sin\frac{t}{2}.\cos\frac{t}{2} \right )=5\left ( \cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2} \right )$
$\Leftrightarrow \cos t=0$ $\vee$ $\sin\frac{t}{2}.\cos\frac{t}{2}=\frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow \cos t=0$ $\vee$ $\cos^2t=\frac{3}{4} \Leftrightarrow x=0$ $\vee$ $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
Gửi bởi Primary trong 03-09-2013 - 21:24
Gửi bởi Primary trong 02-09-2013 - 21:45
tìm a,b sao cho : $\log_{2}a + \log_{2}b = \log_{2}(a+b)$
$pt\Leftrightarrow \log_2ab=\log_2(a+b)\Leftrightarrow ab=a+b$
Có vô số cặp số thực dương $(a;b)$ thỏa mãn ?????
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học