Primary

$VP^3=\frac{1-(\sqrt[3]{2}+2)(\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{2}+1)}{3} =\frac{1-(4-3\sqrt[3]{4})}{3}=\sqrt[3]{2}-1$

Do đó ta có đpcm

Lời giải. Điều kiện xác định $x \ge 0$ hoặc $-3 \le x \le -1$.

Ta có $(1) \Rightarrow x^2+ \frac{1}{x^2}+ 2 \sqrt{ (x^2+x) \left(1+ \frac{1}{x^2} \right)}=2$.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \frac{1}{x^2} \ge 2$. Do đó $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)} =0$ hay $x^3+2x^2+x+1=0$.

Phương trình bậc ba này tìm nghiệm thế nào nhỉ ??

Không nên phân tích ra cho phức tạp $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)}=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1$ (Do điều kiện)

Em làm cho khỏi bị trừ điềm.

Lời giải:

Giả sử rằng tìm được $r$ lón nhất, nhỏ nhất (*)

$y'=4x^3-8mx=0\Leftrightarrow x=0\vee x=\pm \sqrt{2m}$ với $m>0$ (vì hàm số có 3 cực trị)

Vì $$y(-x)=x^4-4mx^2+3m-1=y(x)$$

Suy ra y làm hàm số chẵn nên đồ thị hàm y nhận Oy làm trục đối xứng

Gọi $A(0;3m-1);B(\sqrt{2m};-4m^2+3m-1);C(-\sqrt{2m};-4m^2+3m-1)$ là 3 điểm cực trị và AH là đường cao kẻ từ A

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{1}{2}.4m^2.2\sqrt{2m}=4m^2\sqrt{2m}$

$$\Rightarrow r=\frac{2S}{2AB+BC}=\frac{8m^2}{1+\sqrt{8m^3+1}}\Leftrightarrow r=\frac{8}{\frac{1}{m^2}+\sqrt{\frac{8}{m}+\frac{1}{m^4}}}$$

SAI trên tử là 4 mới đúng. 

Lại gọi $k$ là số nhỏ nhất trên $(0;+\infty )$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \lim_{m\rightarrow k }r=k=0^+ & & & \\ \lim_{m\rightarrow +\infty }r=+\infty & & & \end{matrix}\right.$

Điều này trái với (*)

Vậy không thể tìm được m

 

Điểm bài: 5

S = 9+5*3 = 24

Em xin nhắc lại là mở rộng 1 chỉ áp dụng cho $a_1,...a_n$ dương
2) Mở rộng 2: cho a,b,c là những số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm min
$B=\sum \sqrt{\frac{a+b^k+c^k}{a^k+b+c}},k\geq 3$
Giải: Theo BĐT AM-GM và $a+b+c=3$ ta có $$B=\sum \frac{a+b^k+c^k}{\sqrt{(a^k+b+c)(a+b^k+c^k)}}\geq \frac{4(a^k+b^k+c^k)+6}{a^k+b^k+c^k+3}$$
Ta chứng minh     $\frac{4(a^k+b^k+c^k)+6}{a^k+b^k+c^k+3}\geq 3$ hay $a^k+b^k+c^k\geq 3$
*Trước hết ta có nhận xét  $a^k+b^k\geq \frac{(a+b)^k}{2^{k-1}}$  hay  $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^k+\left ( \frac{b}{a+b} \right )^k\geq 2.\left ( \frac{1}{2} \right )^k$ (*)
Đặt $t=\frac{a}{a+b}$,$0<t<\frac{1}{2}$
 suy ra $f(t)=t^k+(1-t)^k\geq 2.\left ( \frac{1}{2} \right )^k$
Mà $$f'(t)=k.t^{k-1}-k(1-t)^{k-1}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$$
$\Rightarrow f(t)\geq f\left ( \frac{1}{2} \right )=2.\left ( \frac{1}{2} \right )^k$
Nhận xét được chứng minh
*Mặt khác $a^k+b^k+c^k\geq \frac{(a+b+c)^k}{3^{k-1}}$ hay $P=a^k+b^k+c^k+\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^k\geq 4\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^k$
Thật vậy: Theo (*) thì $P\geq 2\left ( \frac{a+b}{2} \right )^k+2\left ( \frac{c+\frac{a+b+c}{3}}{2} \right )^k\geq 4\left ( \frac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4} \right )^k$ $\Leftrightarrow P\geq 4\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^k$
$\Rightarrow a^k+b^k+c^k\geq \frac{3^k}{3^{k-1}}=3$
Vậy $\min B=3$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

ĐIỂM 10

1) Mở rộng 1: Cho các số thực dương $a_i$ thỏa $a_1+...+a_n=n$ vói n là số nguyên dương không nhỏ hơn 3. Tìm min
$A=\sqrt{\frac{a_1+a_2^2+...+a_n^2}{a_1^2+a_2+...+a_n}}+...+\sqrt{\frac{a_1^2+...+a_{n-1}^2+a_n}{a_1+...+a_{n-1}+a_n^2}}$
Giải: Theo BĐT AM-GM và $a_1+...+a_n=n$ ta có:
$A=\frac{a_1+a_2^2+...+a_n^2}{\sqrt{(a_1^2+a_2+...+a_n)(a_1+a_2^2+...+a_n^2)}}+...+\frac{a_1^2+...+a_{n-1}^2+a_n}{\sqrt{(a_1+...+a_{n-1}+a_n^2)(a_1^2+...+a_{n-1}^2+a_n)}}$
$\geq \frac{(2n-2)(a_1^2+...+a_n^2)+2n}{a_1^2+...+a_n^2+n}$
Ta chứng minh $\geq \frac{(2n-2)(a_1^2+...+a_n^2)+2n}{a_1^2+...+a_n^2+n}\geq n$
hay $a_1^2+...+a_n^2\geq n$ (vì $n\geq 3$) (*)
Theo BĐT Cauchy- Schwarz: $VT_{(*)}\geq \frac{(a_1+...+a_n)^2}{n}=n$ hay (*) đúng
Vậy $\min A=n$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n=1$

 

ĐIỂM MỞ RỘNG: 10

Lời giải:
Theo BĐT AM-GM và $a+b+c=3$ ta có:
$\sum \sqrt{\frac{a^2+b^2+c}{a+b+c^2}}=\sum \frac{a^2+b^2+c}{\sqrt{(a+b+c^2)(a^2+b^2+c)}}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)+6}{a^2+b^2+c^2+3}$
Ta chứng minh $\frac{4(a^2+b^2+c^2)+6}{a^2+b^2+c^2+3}\geq 3$ hay $a^2+b^2+c^2\geq 3$   (*)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{1+1+1}=3$
Do đó (*) đúng
Vậy $\min P=3$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 

ĐIỂM: 10

 

S = 14+ 3*10 +10+10= 64

Giải hệ phương trình sau:
\[ \begin{cases}\frac{2x^{2}+4y^{2}}{xy}=4\sqrt{(\frac{2}{y}-\frac{3}{x})(x+y)}-1 (1)\\ \sqrt{(x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} (2)\end{cases}\quad (x,y\in\Bbb{R}) \]
Đề của
khanh3570883

Điều kiện: $x>0,y\geq -3,y\neq 0,\sqrt{\left ( \frac{2}{y}-\frac{3}{x} \right )(x+y)}\geq 0$
*Đặt $t=\frac{x}{y},t\neq 0$ (*)
$(1)\Leftrightarrow 2t+\frac{4}{t}=4\sqrt{2t-\frac{3}{t}-1}-1\Leftrightarrow 4t^4-28t^3+33t^2+56t+16=0$ $\Leftrightarrow (t-4)^2.(2t+1)^2=0\Leftrightarrow t=4$ $\vee$ $t=\frac{-1}{2}$ (**)
$(2)\Leftrightarrow [x-\sqrt{x(y+3)}]^2+2x+2y+6=x+y+3\Leftrightarrow$ $[x-\sqrt{x(y+3)}]^2+(\sqrt{x}-\sqrt{y+3})^2=0\Leftrightarrow x=y+3$ (***)
*Từ (*), (**) và (***) suy ra
a) $\left\{\begin{matrix}x=y+3 & & \\ \frac{x}{y}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=4 & & \\ y=1 & & \end{matrix}\right.$
b) $\left\{\begin{matrix}x=y+3 & & \\ \frac{x}{y}=-\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$
Thử lại thì chỉ có cặp nghiệm $(4;1)$ thỏa mãn
Vậy $S=\left \{ (4;1) \right \}$

Điểm bài 10
S = 8 + 3*10 = 38

theo mình nghĩ là dùng bunhiacopxki thì hay hơn

Bài trên đã chứng minh Bunhiacopxki luôn rồi đó

Cm bất đẳng thức mincopxki cho 6 số ko âm a,b,c,x,y,z
$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

Đây là BĐT Cauchy-Scharz mà. Có thể chứng minh cho TH tổng quát cho các số dương ở mẫu
$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+...+a_n)^2}{b_1+...+b_n}$
Xét: $f(x)=(a_1^2+...+a_n^2)x^2-2(a_1b_1+...+a_nb_n)x+b_1^2+...+b_n^2$
$\Delta'=(a_1b_1+...+a_nb_n)^2-(a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)$
Do $f(x)=(a_1x-b_1)^2+...+(a_nx-b_n)^2\geq 0$
$\Rightarrow \Delta '\leq 0\Leftrightarrow (a_1b_1+...+a_nb_n)^2\leq (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)$ (*)
Đây là BĐT Bunhiacopxki
Trong (*) chọn $a_i=\frac{x_i}{\sqrt{y_i}};b_i=\sqrt{y_i},i=\overline{1,n}$ với $y>0$ ta được đpcm

Viết chương trình nhập từ bàn phím số nguyên dương $N(N\leq 100)$ và dãy A gồm N số nguyên $A_1,A_2,...,A_n$ có giá trị tuyệt đối không lớn hơn $1000$. Hãy cho biết dãy A có phải là cấp số cộng hay không và thông báo ra màn hình ?

Em mới học lớp 10 nên làm thử
Uses crt;
Var i,j,N,T,tam : integer;
kt : boolean;
a : array[1..100] of integer;
Begin
clrscr;
Repeat
write('Nhap N='); readln(N);
Until ($N>=1$) and ($N<=100$)
writeln('Nhap day so nguyen co tri tuyet doi $<=1000$')
For $i:=1$ to N do
begin write('$a[',i,']=$'); readln($a[i]$); end;
Write('Sap xep day A tang: ');
For $i:=1$ to N do
for $j:=2$ to N-1 do $If$ $a[j]>a[i]$ then
begin tam$:=a[j]$; $a[j]:=a[i]$; $a[i]:=$tam; end;
kt:=true;
$T:=a[2]-a[1]$;
For $i:=1$ to N-1 do
If $a[i+1]-a[i]<>T$ then kt:= False;
If kt=true then write('Day A la cap so cong') else write('Day A khong la cap so cong');
Readln
End.

Bài 1:
Do $c$ nguyên nên $c^2\equiv 0$ (mod 3) hoặc $c^2\equiv 1$ (mod 3)
$\Rightarrow c(c+3)\equiv x$ (mod 3) với $x\in$ {$0;1$}
$\Rightarrow a(a+3)+b(b+3)\equiv y$ (mod 3) với $y\in$ {0,1,2}
Mà $\Rightarrow a(a+3)+a(a+3)\equiv a^2+b^2$ (mod 3)
Vì $a,b$ nguyên tố nên $a^2+b^2\equiv 2$ (mod 3)
Từ trên suy ra ít nhất một trong $a$ hoặc $b$ có giá trị là 3. Do $a,b$ có vai trò như nhau nên giả sử $a=3$ (*)
Khi đó: $18+b^2+3b=c^2+3c\Leftrightarrow (c-b)(b+c+3)=18$
Dễ dàng chứng minh được: $(b+c+3)-(c-b)\geq 7$. Từ đó ta rìm được cặp số $(b;c)$ là $(7;8);(2;4)$
Do (*) nên ta tìm được: $(a;b;c)=(3;7;8);(7;3;8);(3;2;4);(2;3;4)$

Bài này khá hay, nhìn vào thì chắc chắn rằng $c\in [1;a_1.a_2...a_n)$ thì phương trình vô nghiệm và theo yêu cầu thì pt vô nghiệm hoặc có nghiệm nguyên $\leq 0$

Thôi rồi, cộng nhầm rồi, đi cả bài

Mình nhầm, nếu là dâu trừ thì làm như trên

1.tìm max, min của hàm số:
$y= (\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x})^{n}+(\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$
n thuộc Z+

cám ơn mọi người

$y=\left ( \frac{1+\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n+\left ( \frac{2-\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n$
Đặt $\sin^2x=t$ với $t\in (0;1]$
$\Rightarrow y=f(t)=\left ( \frac{1+t}{t} \right )^n+\left ( \frac{2-t}{t} \right )^n$
$f'(t)=\frac{n(1+t)^{n-1}.(2-t)^n+n(1+t)^n.(2-t)^{n-1}}{t^{2n}}>0,\forall t\in (0;1]$
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên R
Lập bảng biến thiên ta tìm được
$\max y=f(1)=2^n$ khi $\sin^2t=1\Leftrightarrow x=k\pi\pm \frac{\pi }{2}$
Hàm số không có GTNN