Primary

Giải hpt cơ bản:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y=9\\y^{2}+4x=11 \end{matrix}\right.$
Giải hpt cao hơn xíu:
$\left\{\begin{matrix} x^{3}(2+3y)=8\\ x(y^{3}-2)=6 \end{matrix}\right.$

Thanks.

Mình xin giải bài 2:
Do $x=0$ không phải là nghiệm của hệ nên ta có:
$\left\{\begin{matrix}3y+2=\left ( \frac{2}{x} \right )^3 & & \\ y^3-2=\frac{6}{x} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow y^3+3y=\left ( \frac{2}{x} \right )^3+3.\frac{2}{x}$ (*)
Xét hàm số: $f(u)= u^3+3u$ có $f'(u)= 3u^2+3>0$
Suy ra $f(u)$ đồng biến trên R
Từ (*) suy ra: $f(y)=f\left ( \frac{2}{x} \right )\Leftrightarrow y=\frac{2}{x}$
Thay vào pt thứ nhất của hệ ta được: $x^3\left ( 1+\frac{3}{x} \right )=4\Leftrightarrow x^3+3x^2-4=0\Leftrightarrow x=1\vee x=-2$
Vậy $S=\left \{ (1;2);(-2;-1) \right \}$

Giải HPT: $\left\{\begin{matrix}x^3+3x^2+3x+1+y^2x+y^2-2y=0 & \\ 2y^3+xy^2+y^2-3x-3=0 & \end{matrix}\right.$

$(2)\Leftrightarrow 2y^3=(x+1)(3-y^2)$
$(1)\Leftrightarrow (x+1)^3+y^2(x+1)=2y\Leftrightarrow (x+1)[(x+1)^2+y^2]=2y$ (*)
Lấy (1)+(2): $(x+1)[(x+1)^2+3]=2y(y^2+1)$ (**)
Xét $f(u)=u^3+3u$ và $g(t)=2t^3+2t$ có $f'(u)=3u^2+3>0$ và $g'(t)=6t^2+2>0$
$\Rightarrow$ $f(u)$ và $g(t)$ đồng biến trên R
Từ (**) suy ra: $f(x+1)=g(y)\Leftrightarrow y=x+1$
Thay vào (*) ta được: $(x+1)[(x+1)^2-1]=0\Leftrightarrow x=-1\vee x=0\vee x=-2$
Vậy $S=\left \{ (-1;0);(0;1);(-2;-1) \right \}$

*Mở rộng: Trong không gian cho điểm cố định $A(a;b;c)$ và 2 đường thẳng $(d_i):\frac{x-p_i}{k_i}=\frac{y-q_i}{m_i}=\frac{z-l_i}{n_i}$ ($i=1;2$) cùng đi qua điểm A và hợp với nhau 1 góc nhọn $\alpha$. Trên $(d_2)$ lấy điểm $B$. Giả thiết rằng $(d_1)$ cố định. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B khi $(AB)$ di động để tạo thành 1 hình có thể tích là V.
Ở đây $a;b;c;p_i;q_i;l_i;k_i;m_i;n_i$ là các hằng số khác 0
Lời giải:
Theo giả thiết thì AB di động tạo thành 1 hình nón
Gọi $h$, $R$ là chiều cao và bán kính của hình nón tạo thành. $B_1(b_1;b_2;b_3)$ là hình chiếu của B lên $(d_1)$
Ta có: $\left\{\begin{matrix}V=\frac{1}{3}\pi R.h & \\ \frac{R}{h}=tan\alpha & \end{matrix}\right. \Rightarrow h^2=\frac{3V}{\pi \tan^2\alpha }$
Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}\frac{b_1-p_1}{k_1}=\frac{b_2-q_1}{m_1}=\frac{b_3-l_1}{n_1} & & & \\ \frac{3V}{\pi \tan^2\alpha }=(b_1-a)^2+(b_2-b)^2+(b_3-c)^2 & & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (z_1^2+z_4^2+1)b_2^2+2(z_1z_2+z_4z_5-az_1-cz_4-b)b_2-w=0$
Với $z_1=\frac{k_1}{m_1};z_2=p_1-\frac{a_1k_1}{m_1};z_4=\frac{n_1}{m_1};z_5=l_1-\frac{q_1n_1}{m_1};w=\frac{3V}{\pi \tan^2\alpha }$
Do $-w(z_1^2+z_4^2+1)<0$ nên phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu và gọi 2 nghiệm đó là $u_1;u_2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b_1=u_iz_1+z_2 & & \\ b_3=u_iz_4+z_5 & & \end{matrix}\right.$ với $i=1;2$
$\Rightarrow B_{1,i}(u_iz_1+z_2;u_i;u_iz_4+z_5) \Rightarrow \overrightarrow{AB_{1,i}}=(u_iz_1+z_2-a;u_i-b;u_iz_4+z_5-c)$
Do đó:$(P_i):(u_iz_1+z_2-a)x+(u_i-b)y-u_i(u_i-b)+(u_iz_4+z_5-c)z$ $-(u_iz_4+z_5-c)(u_iz_4+z_5)-(u_iz_1+z_2-a)(u_iz_1+z_2)=0$ với $i=1;2$


Bài làm bị sai nên không tính điểm mở rộng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P): x+2y+z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$ và cắt hai đường thẳng $Ox, d$ lần lượt tại $A,B$ sao cho độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất.

Đề của Spin9x

*Ta có: $(d):\left\{\begin{matrix}x=2t+2 & & \\ y=t-1 & & \\ z=-t & & \end{matrix}\right.,t\in \mathbb{R}$
*Vì $B\in (d)\Leftrightarrow B(2b+2;b-1;b)$ SAI, (2b+2;b-1;-b) chứ?
$A\in Ox\Leftrightarrow A(a;0;0)$ với $a;b\in \mathbb{R}$
Mặt phẳng $(P)$ có: vtpt $\overrightarrow{n}=(1;2;1)$
Đường thẳng $(\Delta )$ có: vtcp $\overrightarrow{AB}=(2b+2-a;b-1;-b)$
*Vì $(\Delta )//(P)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{n}\Leftrightarrow 2b+2-a+2b-2-b=0\Leftrightarrow 3b=a$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-b+2;b-1;-b)$
$\Rightarrow AB^2=(b-2)^2+(b-1)^2+b^2=3b^2-5b+5=3\left ( b-\frac{5}{6} \right )^2+\frac{35}{12}$ SAI, -6b chứ ko phải -5b
$\Rightarrow AB\geq \frac{\sqrt{105}}{6}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=\frac{5}{6}$ và $a=\frac{5}{2}$
*Lúc đó: $\overrightarrow{AB}=\left ( \frac{7}{6};\frac{-1}{6};\frac{-5}{6} \right )$ và $B\left ( \frac{11}{3};\frac{-1}{6};\frac{-5}{6} \right )$
Suy ra $(\Delta ):\frac{x-\frac{11}{3}}{\frac{7}{6}}=\frac{y+\frac{1}{6}}{\frac{-1}{6}}=\frac{z+\frac{5}{6}}{\frac{-5}{6}}$
Hay $(\Delta ):\frac{x-\frac{11}{3}}{7}=\frac{y+\frac{1}{6}}{-1}=\frac{z+\frac{5}{6}}{-5}$
Thử lại phương trình đường thẳng này thỏa đề bài
*Vậy $(\Delta ):\frac{x-\frac{11}{3}}{7}=\frac{y+\frac{1}{6}}{-1}=\frac{z+\frac{5}{6}}{-5}$

Nhận xét: Em làm bài chưa cẩn thận
Điểm bài: 2
S = 2

$f(n)=n$, với $n$ lẻ.

Kết luận rất sai lầm khi điều kiền bài toán là $f(f(n))=n$ với mọi sô nguyên dương n

Q 9:
$H=\frac{2011}{2012}+\sqrt{2012^2-2.2011+\frac{2011^2}{2012^2}}=\frac{2011}{2012}+2012-\frac{2011}{2012}=2012$

Tính :
$\sum_{i = 1}^{n}i!$.

Ta biết rằng: $\log n!=\sum_{k=1}^{n}\log k$
Do vậy: $\sum_{i=1}^{n}i!=\sum_{i=1}^{n}10^{\sum_{k=1}^{n}\log k}$

Ta có thể tổng quát bài 38 lên 1 chút là chỉ có p và q là số nguyên tố
Và dùng 1 cách hay hơn ta tìm được $(p,q,r)=(3;5;6);(5;3;6);(2;2;3)$

Bài 49 :
Đặt $2^8+2^{11}+2^x=y^2\Leftrightarrow 2^x=y^2-48^2=(y-48)(y+48)$
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}y+48=2^p & & \\ y-48=2^q & & \end{matrix}\right.$ với $p,q\in \mathbb{N},p>q,p+q=x$
Suy ra: $2^p-2^q=96\Leftrightarrow 2^q(2^{p-q}-1)=2^5.3$
Do $p>q$ nên $2^{p-q}$ là số chẵn và $2^{p-q}-1$ là số lẽ
Do vậy: $\left\{\begin{matrix}2^q=2^5 & & \\ 2^{p-1}-1=3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=5 & \\ p=7 & \end{matrix}\right.$
Thay vào hệ trên ta được: $y=2^6+2^4=80$
Lúc đó: $2^x=32.128=2^{12}$ hay $x=12$
Thử lại....!
Vậy $(x;y)=(12;80)$ là cặp nghiệm nguyên duy nhất

Chắc phải xét hàm $S(2^{50})$ và $2^{50}=\overline{a_ka_{k-1}...a_2a_1a_0}$

Có thể thêm vào là $\left\{\begin{matrix}|x|\geq |y| & & \\ xy\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
$\textbf{ (i) } f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $

$\textbf{ (ii) } n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$

Em mới học lớp 10 nên chưa rành cái này nên làm thử:
Do $f(f(n))=n$ nên suy ra $f(f(1))<f(f(2))<...<f(f(n))$
$\Rightarrow f(f(n+1))>f(f(n))\Rightarrow f(n+1)>f(n)$ hoặc $f(n+1)<f(n)$ với mọi số nguyên dương n
*Xét $f(n+1)>f(n)$:
Vì $ f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^* $ nên suy ra $f(n+1)\geq f(n)+1$
Ta có: $$n+2=(n+1)+1=f(f(n+1))+1\geq f(f(n)+1)+1\geq f(f(n))+1+1=n+2$$
Suy ra $f(f(n+1))=f(f(n)+1)$ $\Rightarrow f(n+1)=f(n)+1$ (1)
Trong (1): thay lần lượt $n=1,2,3...$ ta đi đến $f(n)=f(1)+n-1\Leftrightarrow f(n)-n=f(1)-1,\forall n\in \mathbb{N}^* $ (2)
Do (2) luôn đúng $\forall n\in \mathbb{N}^*$ nên từ (2) ta có: $$ f(f(1))-f(1)=f(1)-1\Leftrightarrow 2f(1)=2\Leftrightarrow f(1)=1$$
Thay $f(1)=1$ vào (2) ta được: $f(n)=n$
Thử lại thì hàm $f(n)=n$ không thỏa điều kiện $(ii)$ vì khi đó $$ n\bigg |\frac{n(n+1)}{2}$$. Điều này sai khi $n+1$ là số chẵn
*Xét $f(n+1)<f(n)$ cũng tương tự như trường hợp trên nhưng ta loại vì $n+1>n$ với mọi số nguyên dương n
Vậy không tồn tại hàm $f(n)$ thỏa bài toán

Giải phương trình nghiệm nguyên :
$x^2+7=2^n$

Nhận xét rằng: $x\neq 0$ và $n>2$
Ta có: $2^n-x^2=7$.
*Nếu $n=3$ thì $x^2=1$ hay $x=\pm 1$
*Nếu $n=2k$:
$\Rightarrow (2^k-x)(2^k+x)=7$
Vì $2^k>0$ nên ta có:
a) $\left\{\begin{matrix}2^k-x=1 & & \\ 2^k+x=7 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k=2 & \\ x=3 & \end{matrix}\right.$
b) $\left\{\begin{matrix}2^k-x=7 & & \\ 2^k+x=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k=2 & \\ x=-3 & \end{matrix}\right.$
*Nếu $n=2k+1$ thì $2.4^{k}-x^2=7$ suy ra $x=2t+1$
$\Rightarrow 2.4^{k}-(2t+1)^2=7\Leftrightarrow 4^k-2t^2-2t=3$ (Vô nghiệm vì vế trái chẵn , vế phải lẽ)
(Ở đây k là số nguyên dương, t là số nguyên khác 0)
Tóm lại: cặp nghiệm nguyên $(x;n)$ là $(1;3);(-1;3);(3;4);(-3;4)$

Cho các số thực $x,y$ thay đổi thoả mãn $4x^{2}-(8y+11)x+8y^{2}+14=0$ (*)
Tìm $y$ khi $x$ lần lượt đạt Min và Max

$(*)\Leftrightarrow 8y^2-8x.y+4x^2-11x+14=0$
Xem pt trên có ẩn y, x là tham số thì $\Delta '=16x^2-32x^2+88x-112=-16x^2+88x-112$
Do (*) luôn đúng nên $\Delta '\geq 0\Leftrightarrow 16x^2-88x+112\leq 0\Leftrightarrow 2\leq x\leq 3,5$
Vậy Max $x= \frac {7}{5}$ thì $y=\frac{-4x}{8}=\frac{-x}{2}=-\frac{7}{4}$
Min $x=2$ thì $y=\frac{-4x}{8}=\frac{-x}{2}=-1$

Bạn nên tham khảo qua sách phương trình nghiệm nguyên của giáo sư Phan Huy Khải trang 245 thì sẽ rõ. Bài của bạn đáp số tương tự như bài trên