khong la gi ca

Câu 2. Với số tự nhiên bất kì $n$, chứng minh rằng:

 \[ \left\lfloor\frac{n}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{n}{n}\right\rfloor+\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor \]

là số chẵn

Đặt

$$ A =  \left\lfloor\frac{n}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{n}{n}\right\rfloor+\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor $$

Đầu tiên nhận xét rằng nếu viết $n = au + r$ thì

$$ \left \lfloor \frac{n}{u} \right \rfloor = a $$

Gọi $u_1 , u_2 , \cdots , u_k$ là các ước của $n$. Theo đó thì $u_iu_{k-i} = n$ với mọi $1 \leq i \leq k$

Tổng trên của bài toán có thể viết lại như sau

$$ n + \frac{n}{u_2} \left ( u_2 - u_1 \right ) + \frac{n}{u_3} \left ( u_3 - u_2 \right ) + \cdots + \frac{n}{u_k} \left ( u_k - u_{k-1} \right ) $$

$\boxed{12}$ Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 (1) & & \\ \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}=\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}} (2) & & \end{matrix}\right.$$

1. Xét trường hợp $y=0$
Khi đó hệ phương trình trở thành
$$\left\{\begin{matrix} x+z=0 & & \\ \left | x \right | + \left | z \right | + = \sqrt{z^{2}+zx+x^{2}} (a) & & \end{matrix}\right.$$

Vì hai vế của $(a)$ đều không âm nên

$$ (a) \Leftrightarrow x^2 + 2\left | x \right |\left | z \right | + z^2 = z^2 + zx + x^2 \Leftrightarrow 2\left | x \right |\left | z \right | = zx $$

Phương trình cuối cùng có nghiệm $x=0$ hoặc $z=0$, tuy nhiên cả hai nghiệm trên đều dẫn đến hệ sẽ có nghiệm $\left ( x,y,z \right ) = \left ( 0,0,0 \right )$

2. Trường hợp $y \neq 0$

Nhân hai vế của $(1)$ cho $y$ ta được

$$ xy + y^2 + yz = 0 $$

Thay vào $(2)$ cho ta

$$ \sqrt{x^{2}-yz}+\sqrt{z^{2}-xy}=\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}} $$

Một lần nữa vì cả hai vế của phương trình trên đều không âm nên ta có

$$ x^{2}-yz + z^{2}-xy + 2 \sqrt{x^{2}-yz} \sqrt{z^{2}-xy} = z^{2}+zx+x^{2} $$

Ta dễ dàng chứng minh được rằng

$$ xy + yz + zx \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = 0 $$

Mà

$$ 0 \leq 2 \sqrt{x^{2}-yz} \sqrt{z^{2}-xy} = xy + yz + zx $$

Theo đó ta phải có

$$ xy + yz + zx = 0 $$

suy ra $y^2 = zx$

Mặt khác $$ 2 \sqrt{x^{2}-yz} \sqrt{z^{2}-xy} = xy + yz + zx = 0 $$

Theo đó $x^2 = yz$ hoặc $z^2 = xy$. Ta sẽ chỉ xét trường hợp $x^2 = yz$, trường hợp còn lại được chứng minh tương tự.

Với $x^2 = yz$ thì

$$ y^2 = zx \Rightarrow y^4 = z^2 x^2 = z^3 y \Rightarrow z = y $$

Và hơn nữa lúc đó

$$ x^2 = y^2 \Rightarrow x = \pm y $$

Trong cả hai khả năng thì khi thay vào $(1)$ ta đều được $\left ( x,y,z \right ) = \left ( 0,0,0 \right )$ nhưng nghiệm này bị loại vì ta đang xét trường hợp $y \neq 0$.

Như vậy hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất $\left ( x,y,z \right ) = \left ( 0,0,0 \right )$

Câu 5 (4 điểm)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^5}{a^4+b^4} +\frac{b^5}{b^4+c^4}+\frac{c^5}{c^4+a^4}  + \frac{1}{2} \left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c} \right) \geq a+b+c$$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh

$$ \frac{a^5}{a^4+b^4}  + \frac{1}{2} \frac{b^2}{a} \geq a $$

Thật vậy, bđt trên tương đương với

$$ 2a^6 + a^4b^2 + b^6 \geq 2a^6 + 2a^2b^4 $$

hay

$$ \left ( a^2b - b^3 \right )^2 \geq 0 $$

Tương tự ta có

$$ \frac{b^5}{b^4+c^4}  + \frac{1}{2} \frac{c^2}{b} \geq b $$

$$ \frac{c^5}{c^4+a^4}  + \frac{1}{2} \frac{a^2}{c} \geq c $$

Từ đó suy ra đpcm.

Hãy chứng minh rằng dãy số x_n = $\frac{2n}{n+2}$ hội tụ đến 2, bằng cách chỉ ra số tự nhiên tương ứng với mỗi số $\varepsilon >0$ sao cho:

$\left | x_{_{n}} - 2 \right |$ < $\varepsilon$, với mọi n > n₀

Cho một $\varepsilon >0$ bất kỳ, ta sẽ tìm số nguyên $n_{0}\left ( \epsilon  \right )$ sao cho

$$ \left | x_{n} - 2 \right | < \varepsilon \ \forall n > n_{0} \left ( \epsilon  \right )  $$ 

Ta thấy

$$ \left | x_n - 2 \right | = \left | \frac{2n}{n+2}  - 2 \right | = \frac{4}{n+2} $$

Để 

$$ \frac{4}{n+2}  < \epsilon $$

thì ta phải có

$$ n >max \left \{ \frac{4}{\varepsilon} - 2 , 0 \right \} $$

Vậy ta có thể chọn

$$ n_0 = max \left \{ \left \lceil \frac{4}{\varepsilon} - 2 \right \rceil , 0 \right \} $$

Bài 6. (2 điểm)

Với số tự nhiên $n\ge 2$, gọi $a_n$ là hệ số của $x$ trong khai triển nhị thức $(5+\sqrt{x})^n$. Tìm giá trị của $n$ để biểu thức $A=\frac{5^2}{a_2}+\frac{5^3}{a_3}+\frac{5^4}{a_4}+...+\frac{5^n}{a_n}$ có giá trị bằng $48$.

Với mọi số tự nhiên $2 \le k \le n$, ta có

$$ \left ( 5 + \sqrt{x} \right ) ^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} 5^{k-i} x^{\frac{i}{2}} $$

Theo đó thì

$$ a_k = \binom{k}{2} 5^{k-2} = \frac{k(k-1)5^k}{50} $$

Ta viết lại

$$ A = \sum_{k=2}^{n} \frac{5^k}{a_k} = \sum_{k=2}^{n} \frac{50}{k(k-1)} = 50 \left( 1 - \frac{1}{n}  \right ) = 48 $$

Như vậy $n=25$