kerry0111

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Đăng ký: 23-11-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư

Tìm kiếm

Received

#376175 $\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AI^2}...

Gửi bởi kerry0111 trong 08-12-2012 - 23:38

giúp mình với
cho (O;R) vẽ hai dây bất kì cắt nhau tại I là AB và CD, I nằm trong (O;R). Gọi M là trung điểm của AD. MI kéo dài cắt AC tại n.
chứng minh rằng $\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AI^2}{IC^2}$

$\frac{AN}{NC}=\frac{S_{\Delta AIN}}{S_{\Delta NIC}}=\frac{S_{\Delta AIN}}{S_{\Delta MIB}}.\frac{S_{\Delta MID}}{S_{\Delta NIC}}=\frac{IA.IN}{IM.IB}.\frac{IM.ID}{IN.IC}=\frac{IA^2}{IC^2}$

perfectstrong, BlackSelena và diepviennhi thích

#375911 $$\frac{x}{y+z}+\frac{y}...

Gửi bởi kerry0111 trong 07-12-2012 - 22:42

Bài toán 1.
Ch0 3 số thực không âm $x,y,z$. Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{4(x+y)(y+z)(x+z)}{x^3+y^3+z^3}\geq 5$$

bđt cần cm tđ với

$\sum \frac{x}{y+z}-1+\frac{4\prod (x+y)}{\sum x^3}\geq 4$

$\Leftrightarrow \frac{\sum x^3+xyz}{\prod (x+y)}+\frac{4\prod (x+y)}{\sum x^3}\geq 4$

đúng theo AM-GM và $xyz\geq 0$

Bài toán 2.
Chứng minh rằng $\forall a,b,c\geq 0$ ta luôn có bất đẳng thức :
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2)}\geq 5$$

bđt cần cm tđ với

$\frac{\sum a^3+\sum a^2b+3abc}{\prod (a+b)}+\frac{9\sum ab}{\sum a^2}\geq 6$

a/d tt AM-GM thì ta chỉ cần cm

$(\sum a^3+\sum a^2b+3abc)(\sum ab)\geq (\sum a^2)\prod (a+b)$

$\Leftrightarrow abc(a^2+3ab+3ac+b^2+bc+c^2)\geq 0$

(đúng)

HÀ QUỐC ĐẠT, Poseidont, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích

#373306 $(a^3b+b^3c+c^3a)(ab+ac+bc)\leq 16$

Gửi bởi kerry0111 trong 28-11-2012 - 17:47

Bài toán 2: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$(a^3b+b^3c+c^3a)(ab+ac+bc)\leq 16$

gs a là số nằm giữa b và c

$b(a+b)(b-a)(a-c)\geq 0\Rightarrow a^3b+b^3c+c^3a\leq a^2bc+ab^3+ac^3$

gs $c\leq a\leq b$

$a^2bc+ab^3+ac^3\leq a^2bc+ab^3+b^2c^2$

do đó $(a^3b+b^3c+c^3a)(ab+bc+ca)\leq (ab^2+bc^2+ca^2)(abc+ab^2+cb^2)$

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ $\leq(4-abc)(abc+ab^2+cb^2)$

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ $\leq \left [ \frac{b^2(a+c)+4}{2} \right ]^2$

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ $\leq 16$

( vì $b^2(a+c)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.(a+c)\leq 4\left (\frac{a+b+c}{3} \right )^3=4$ )

lehoanghiep, WhjteShadow, duongvanhehe và 3 người khác yêu thích

#372442 $$2^{3^x} + 1 = 19.3^y$$

Gửi bởi kerry0111 trong 25-11-2012 - 13:45

dễ thấy pt có no nguyên thì đó phải là no nguyên dương

và theo zsigmondy thì $2^k-(-1)^k\not\equiv 0(mod19)$ với mọi $k=\overline{1;3^x-1}$

mà $2^9-(-1)^9\equiv 0(mod19)$

nên $3^x-1\leq 8\Rightarrow x\leq 2$

từ đó dễ dàng suy ra no của pt trên là $(x, y)$ bằng $(2;3)$

WhjteShadow và BoFaKe thích

#371775 Tìm min P=OA'.OB'.OC'

Gửi bởi kerry0111 trong 23-11-2012 - 16:52

$OA'.BC=OB.CA'+OC.BA'$

$\Rightarrow OA'.BC= R.\frac{BC.sinCOA+BC.sinBOA}{sinBOC}$

$\Rightarrow OA'= R.\frac{sinCOA+sinBOA}{sinBOC}$

từ đó dễ dàng suy ra $P_{min}=8R^3$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều