Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Pham Le Yen Nhi

Đăng ký: 26-11-2012
Offline Đăng nhập: 12-10-2018 - 20:04
***--

#540819 Chứng minh $MK=ML$

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 14-01-2015 - 19:39

Vẽ $AN\perp XB$ cắt $CD$ tại $N$

$\Rightarrow X$ là trực tâm của $\Delta NAB$

$\Rightarrow AX\perp NB$ tại F ($F$ thuộc $NB$)

$\Rightarrow \angle AND =\angle ABX=\angle ABL$

Ta có $AC^{2}=AD.AB \Rightarrow AL^{2}=AD.AB \Rightarrow \Delta ALD\sim \Delta ABL$

$\Rightarrow \angle ALD =\angle ABL \Rightarrow \angle ALD =\angle AND$

$\Rightarrow ANLD$ nội tiếp

Mà $\angle D =90^{\circ} \Rightarrow \angle ALN =90^{\circ}$

cmtt ta có BDKN nội tiếp $\Rightarrow \angle BKN =90^{\circ}$

Từ đó ta có $\left\{\begin{matrix} NK^{2}=NF.NB\\ NL^{2}=NH.NA\\ NF.NB=NH.NA \end{matrix}\right.$

Nên NK=NL

Từ đó chứng minh được $\Delta NKM =\Delta NLM\Rightarrow MK=ML$ (đpcm)

p/s: bạn tự vẽ hình nha :))




#528561 Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}...

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 12-10-2014 - 22:22

Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=4$.

Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^{3}+1}}$.

Ta có

$P=\frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}}+\frac{b}{\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}$

Mà $\frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}=\frac{2a^{2}}{ab^{2}+2a}+\frac{2b^{2}}{a^{2}b+2b}\geq \frac{2(a+b)^{2}}{ab(a+b)+2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{ab+2}\geq \frac{2.4}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ 

Nên $minP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=2$




#528554 Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n...

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 12-10-2014 - 21:59

Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n}$ là tổng của $m$ số lẻ liên tiếp




#526516 Chứng minh $\frac{MT^{2}}{MA.MB}...

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 28-09-2014 - 18:18

1.Cho hai đường tròn $(O_{1}),\left ( O_{2} \right )$ cắt nhau tại $A,B$.Một điểm M chuyển động trên $(O_{1})$. Qua M kẻ tiếp tuyến MT với $(O_{2})$. Chứng minh $\frac{MT^{2}}{MA.MB}$ không đổi khi M thay đổi.

2. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ cát tuyến ABC,ADE với B thuộc AC, D thuộc AE. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) lần thứ hai tại F. AF cắt (O) tại G. EG cắt AC tại M. Chứng minh $\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$




#522981 Giả sử $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ là các...

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 05-09-2014 - 21:07

1. Giả sử $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ là các số nguyên tố khác nhau.Hỏi có bao nhiêu ước số của số $q=p_{1}^{k_{1}}.p_{2}^{k_{2}}....p_{n}^{k_{n}}$

2.Có bao nhiêu số khác nhau (không được bắt đầu bằng 0), nhỏ hơn $2.10^{8}$, chia hết cho 3, có thể viết bởi các chữ số 0,1,2.




#520292 $\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 19-08-2014 - 00:27

Giả sử $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{n}>0$ và $\sum_{i=1}^{k}a_{i}\leq \sum_{i=1}^{k}b_{i}$ với $k=1,2,...,n$. Chứng minh rằng khi đó ta có:

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

 




#517167 $\sum \frac{a^{n}b^{m}}{c^...

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 02-08-2014 - 18:56

1. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

2.Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có

$\frac{a^{n}b^{m}}{c^{n+m}}+\frac{b^{n}c^{m}}{a^{n+m}}+\frac{c^{n}a^{m}}{b^{n+m}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

 




#513365 CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 17-07-2014 - 11:04

1. Cho $a.b.c$ là các số thực dương tuỳ ý. CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

2. Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thoả mãn $a+b+c=3$ thì $$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$$

3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý.  Chứng minh rằng $$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$

 




#503011 CM có thể chon ra ở mỗi trường 1 học sinh để 3 học sinh đó đôi một quen nhau

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 31-05-2014 - 17:21

Co 3 trường mỗi trường có n hs. Mỗi hs có n+1 bạn quen ở 2 trường khác. CM có thể chon ra ở mỗi trường 1 hs để 3 hs đó đôi một quen nhau

Gọi ba trường đó lần lượt là $P,Q,R$. Giả sử $A$ là một học sinh của trường $P$.

Theo gt, $A$ sẽ quen ít nhất $n+1$ bạn ở hai trường còn lại là $Q,R$.

Khi đó số người không quen $A$ ở 2 trường $Q,R$ nhiều nhất sẽ là $2n-(n+1)=n-1$ hs

Xét hs $A$ ở trường $P$ và $n+1$ học sinh quen $A$ ở 2 trường $Q,R$ , tức là có $n+2$ học sinh

Gọi $B$ là một trong số đó và $B$ khác $A$.Giả sử $B$ là hs ở trường $Q$.

Khi đó số học sinh không quen $B$ nhiều nhất là $n-1$

$\Rightarrow$ số học sinh quen nhau còn lại ít nhất sẽ là $(n+2)-(n-1)=3$ học sinh

Nghĩa là ngoài $A,B$ thì còn ít nhất 1 hs, giả sử $C$. Dễ thấy rằng $C$ phải là học sinh ở trường $R$ Khi đó ta có $A,B,C$ ở ba trường và đôi một quen nhau




#502422 Chứng minh CK vuông góc với BN

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 29-05-2014 - 11:47

Cho hình vuông ABCD, qua A vẽ đường thẳng d cắt BC và CD lần lượt tại M và N. Gọi E là giao điểm 2 đường chéo của hình vuông.EM cắt BN tại K. Chứng minh CK vuông góc với BN.

Trên cạnh $AB$ lấy $P$ sao cho $PB$=$MC$

Dễ thấy $\Delta BPE=\Delta CME(c.g.c)\Rightarrow ME=PE, \angle PEM=90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta PEM$ vuông cân tại $E$

$\Rightarrow PBEM$ là tứ giác nội tiếp.

Mà $\frac{PB}{AB}=\frac{MC}{BC}=\frac{MN}{AN}$

$\Rightarrow PM//BK\Rightarrow \angle BKE=\angle PME=45^{\circ}$

$\Rightarrow BKCE$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \angle CKB=90^{\circ}\Rightarrow$ đpcm




#502080 Cho hình thoi ABCD. Gọi R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam gi...

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 27-05-2014 - 23:44

$\frac{1}{R^{2}}+\frac{1}{r^{2}}= \frac{4}{a^{2}}$

Vẽ đường trung trực của $AB$ cắt $AB$ tại $M$, $AC$ tại $K$ và $BD$ tại $I$.

Khi đó, điểm $I$ và $K$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC,\Delta ABD$ nên $IB=r$ và $KA=R$

Chứng minh được $\Delta MBI \sim \Delta OBA(g-g)\Rightarrow \frac{1}{r^{2}}=\frac{4OB^{2}}{a^{4}}$

$cmtt\Rightarrow \frac{1}{R^{2}}=\frac{4OA^{2}}{a^{4}}$

Do đó $\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{R^{2}}=\frac{4(OA^{2}+OB^{2})}{a^{4}}=\frac{4}{a^{2}}$

p/s: Bạn tự vẽ hình nhé :))




#501905 Đề thi $TS$ lớp $10$ $THPT$ chuyên Thái Bình...

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 27-05-2014 - 11:09

Đề thi TS lớp 10 THPT chuyên TB 2010-2011 (V2)

Bài 2:
Cho hệ: $\left\{\begin{matrix}ax+by=c  &  & \\ bx+cy=a  &  & \\ cx+ay=b \end{matrix}\right.$ với $a;b;c$ là tham số.

Cmr: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là: $a^3+b^3+c^3=3abc$

Giả sử $\left ( x_{o} ,y_{o}\right )$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho

ta có hệ 

$\left\{\begin{matrix} ax_{o}+by_{o}=c (1)\\ bx_{o}+cy_{o}=a(2)\\ cx_{o}+ay_{o}=b (3) \end{matrix}\right.$

+)Nhân hai vế của $(1),(2),(3)$ lần lượt với $c^{2},a^{2},b^{2}$ ta dễ dàng suy ra được

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)x_{o}+(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)y_{o}$

+)Nhân hai vế của $(1),(2),(3)$ lần lượt với $ab,bc,ca$ ta suy ra được $3abc=(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)x_{o}+(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)y_{o}$

Từ đó suy ra được $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$




#501794 C/M AK là phân giác góc EKF

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 26-05-2014 - 18:48

$\Delta ABC$ nhọn nội tiếp (O), AB<AC, đường cao AK, các tiếp tuyến tại B và C cắt tiếp tuyến tại A tại E và F. CMR AK là phân giác $\widehat{EKF}$

Ta chứng minh được $\Delta OAE\sim \Delta CKA\Rightarrow EA.KC=OA.KA$

$\Delta OAF\sim \Delta BKA\Rightarrow AF.BK=OA.KA$

Cminh được $\angle EBK =\angle FCK$

$\Rightarrow \Delta EBK\sim \Delta FCK(c-g-c)\Rightarrow \angle EKB=\angle FKC\Rightarrow đpcm$




#501350 Đường tròn đường kính AB có M thuộc đường tròn. Tiếp tuyến của (O) ở A và M c...

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 24-05-2014 - 22:34

Đường tròn đường kính AB có M thuộc đường tròn. Tiếp tuyến của (O) ở A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M tiếp xúc AC ở C. CD là đường kình của (I). DH vuông góc với BC (H thuộc BC). DH cắt AB ở K. CO cắt (I) ở N

a, O, M, D thẳng hàng

b, tam giác COD cân

c, Tứ giác NHOK nội tiếp

d, $\Delta DHN\sim \Delta COB$

e, $\Delta NHO\sim \Delta DHC$

f, K là trung điểm OA

a) $CM$ vuông góc với $MD$, $CM$ vuông góc với $MO$ nên $O,M,D$ thẳng hàng.

b) Dễ thấy $CD//AB \Rightarrow \angle DCO=\angle COA=\angle DOC \Rightarrow \Delta COD$ cân tại $D$

c) Ta có tứ giác $CDHN$ nội tiếp nên $\angle HNO=\angle CDH=\angle HKO\Rightarrow KNHO$ là tứ giác nội tiếp

d) $\angle HND=\angle HCN=\angle CBO, \angle NDH=\angle OCB$

$\Rightarrow \Delta DHN\sim \Delta COB (g-g)\Rightarrow \frac{HN}{HD}=\frac{OB}{OC}$ (1)

e) Dễ dàng cm được $\Delta AOC \sim \Delta NCD \Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{CN}{CD}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{HN}{HD}=\frac{ON}{CD}(OA=OB, CN=ON)$

Do đó $\Delta NHO \sim \Delta DHC (cgc)$

f) Ta có $\angle NHO =\angle DHC=90^{\circ},\angle NKO +\angle NHO =180^{\circ}\Rightarrow \angle NKO=90^{\circ}$

Xét $\Delta AOC , NK//AC,NO=CN\Rightarrow KA=KO\Rightarrow đpcm$

p/s: bạn tự vẽ hình nhé :))




#501333 $\sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac...

Gửi bởi Pham Le Yen Nhi trong 24-05-2014 - 21:51

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

Cách khác :))

Đặt $3a+b+c=x, 3b+c+a=y, 3c+a+b=z ,(x,y,z>0)$

Ta có $VT=\frac{4x-y-z}{10x}+\frac{4y-x-z}{10y}+\frac{4z-y-x}{10z}=\frac{6}{5}-\frac{1}{10}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq \frac{6}{5}-\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$