nhuanmaths

Cho AB,CD là 2 dây cung bất kì của đường tròn $\left ( O \right )$.Qua A,B lần lượt  dựng 2 đường thẳng $d_{1}$,$d_{2}$ vuông góc với AB.Tương tự Qua C,D lần lượt  dựng 2 đường thẳng $d_{3}$,$d_{4}$ vuông góc với CD.Gọi M là giao điểm $d_{1}$ và $d_{3}$.Gọi N là giao điểm $d_{2}$ và $d_{4}$.Chứng minh rằng O là trung điểm MN

 

 

 

 

 

Cho tứ giác lồi ABCD chứng minh rằng :
$\tan \frac{A}{4}+\tan \frac{B}{4}+\tan \frac{C}{4}+\tan \frac{D}{4}< 2$

Xét tất cả các tứ giác lồi $ABCD$ vừa ngoại tiếp $(O;R)$, vừa nội tiếp $(I:r)$ cố định.Chứng minh rằng:
$\frac{AB+BC+CD+DA}{AC+BD}$ không đổi

Cho tứ giác lưỡng tiếp (tứ giác vừa nội tiếp, vừa ngoại tiếp) nội tiếp $\left ( O,R \right )$ và ngoại tiếp $\left ( O',R' \right )$, khoảng cách $O$ và $O'$ là $d$. Tìm hệ thức giữa $R,R'$ và $d$

Cho $p,R,r$ lần lượt là nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp.Chứng minh rằng:$$p^{2}+R^{2} \ge 31r^{2}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?