Vo Sy Nguyen

 

câu 6:(3 điểm)

Cho hình chữ nhật $ABCD$.Tìm quỹ tích các điểm $M$ sao cho $MA+MC=MB+MD$ (*)

 

NTP

 

 

Từ M dựng các hình chiếu vuông góc với các cạnh

dễ dàng chứng minh $MA.MC=MB.MD$ (1) và $MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}$ (2)

lấy (2) - 2 . (1) thì ta có $\left | MA-MC \right |=\left | MB-MD \right |$

thì ta có MA - MC = MB - MD (3) hoặc MA - MC = MD - MB (3.1)

Lấy (*)  với (3), (3.1)

ta có MA = MB, MC = MD hoăc MA = MD, MB=MC mà A, B, C, D cố định

nên M chạy trên đường trung trực 2 cặp cạnh đối diện nhau

Suy ra quỹ tích điểm M

Q.E.D

bạn có thể tham khảo cách giải của ví dụ 3 phần vectơ và các phép toán vectơ trang 11 Tài liệu chuyên toán hình học 10

$23)$ Cho lục giác đều $ABCDEF$

Yêu cầu biểu diễn các vecto $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AF};\overrightarrow{EF}$ theo $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE}$

 

Đầu tiên ta chưng minh bổ đề : Khi ABCDEF là lục giác đều và G là một điểm bất kì, ta luôn có

                         $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GF}$

Thật vậy, ta có gọi O là tâm lục giác ABCDEF thì

  $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GE}$

=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FE}$

=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{FE}$

=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO}$

=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$                     

=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GF}$

Q.E.D

 

Quay lại bài toán ta có

  $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{EF}$

  $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}$

Cộng vế theo vế ta có

 $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}+ \overrightarrow{EB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EF}$

$\Leftrightarrow$$2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EF}$

$\Leftrightarrow$$2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow$$2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}$

 

P/s: không biết đúng ý hiểu biểu diễn của đề không, nếu không hợp lý mong các bạn sửa lại cho mình, nếu đúng like ủng hộ mình nha

1,Vì đa thức đồng bậc nên không mất tính tổng quát chuẩn hóa $a+b+c=3$

Ta có $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=\frac{(3-2a)^2}{(3-a)^2+a^2}=2-\frac{9}{2a^2-6a+9}$

Tương tự ta có đpcm <=>$\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}$$\leq \frac{3}{5}$

Áp dụng phương pháp xét hàm một biến đánh giá được $\frac{2(a-1)(a-2)}{2a^2-6a+9}=\frac{5}{2a^2-6a+9}-1\geq \frac{-2(a-1)}{5}$

Biến đổi tương đương nhé bạn:$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$ đúng

Từ đó suy ra $\frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{1}{5}-\frac{2}{25}(a-1)$ 

cộng vào kết hợp với chuẩn hóa đến điều phải chứng minh

 

Cho mình hỏi chuẩn hóa là gì và tại sao bạn có chuẩn hóa như vậy được không?

21.Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta luôn có

        $\sum \sqrt{(\frac{2ab^{2}}{a^{3}+b^{3}})^{9}}\leq 3$