son98

$b^2+c^2-bc\geqslant b^2+c^2-\frac{b^2+c^2}{2}=\frac{b^2+c^2}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b^2+c^2-bc}\geqslant \frac{2a^3}{b^2+c^2}$

mình nghĩ chỗ này của bạn bị nhầm dấu rồi, phải là

 $\frac{a^3}{b^2+c^2-bc}\leq\frac{2a^3}{b^2+c^2}$ 
Điều đó có nghĩa việc chứng minh chưa hoàn thành =[[

 

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

                     $ab^2+bc^2+ca^2\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

                     $a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

$\Rightarrow \sum ab(a+b)\leqslant 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}}\geqslant \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}\geqslant \frac{a+b+c}{2}

chỗ này là $\sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{3}}$ đúng ko bạn ???