Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


duaconcuachua98

Đăng ký: 06-12-2012
Offline Đăng nhập: 09-09-2017 - 20:34
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^...

15-07-2016 - 18:58

Bài toán. Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}-5}+\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10$.

Điều kiện: $\begin{bmatrix} x\geq \sqrt{5}\\ x\leq -\sqrt{5} \end{bmatrix}$

Ta có: $(x+2)\sqrt{x^{2}-5}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10\Leftrightarrow (x+2)\left ( \sqrt{x^{2}-5}-2 \right )+(2x+1)\left ( \sqrt{x^{2}+7}-4 \right )=2x^{2}-18\Leftrightarrow (x-3)\left ( \frac{(x+2)(x+3)}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{(2x+1)(x+3)}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2(x+3) \right )=0\Leftrightarrow (x-3)(x+3)\left ( \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2 \right )=0$

$\bullet$ Nếu $x\leq -\sqrt{5}\rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2< 0$
$\bullet$ Nếu $x\geq \sqrt{5}$ 
$\ast$ Xét $g(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}$ 
$\rightarrow g'(x)=\frac{8\sqrt{x^{2}+7}-x+14}{(\sqrt{x^{2}+7}+4)^{2}.\sqrt{x^{2}+7}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}\rightarrow g(x)\geq g(\sqrt{5})=\frac{2\sqrt{5}+1}{\sqrt{12}+4}$
$\ast$ Xét $f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}\rightarrow f'(x)=\frac{2\sqrt{x^{2}-5}-2x+5}{\sqrt{x^{2}-5}\left ( \sqrt{x^{2}-5}+2 \right )^{2}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}$
$\rightarrow f(x)\geq f(\sqrt{5})=\frac{\sqrt{5}+2}{2}\Rightarrow f(x)+g(x)-2> 0$
Vậy $x=3\vee x=-3$

Trong chủ đề: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2015-2016

03-10-2015 - 20:57

 

 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 
$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

Cách khác: BĐT tương đương $\sum \frac{4}{1-c}\leq \sum \frac{1}{c}+9$

Ta chứng minh: $\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\leq 18c-3$ $(1)$

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 5c-1\leq -18c^{3}+21c^{2}-3c\Leftrightarrow 18c^{3}-21c^{2}+8c-1\leq 0\Leftrightarrow \left ( 3c-1 \right )^{2}(2c-1)\leq 0$

Do $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên $a+b>c\Leftrightarrow c< \frac{1}{2}$

Vậy bđt cơ sở là đúng 

Tương tự $\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\leq 18a-3$ và $\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\leq 18b-3$

Cộng 3 bđt lại suy ra đpcm 


Trong chủ đề: Đăng ký tham gia dự thi VMEO IV

14-09-2015 - 22:18

Họ tên: Trần Thiện Nam

Nick trong diễn đàn (nếu có): duaconcuachua98

Năm sinh: 1998

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THPT


Trong chủ đề: $\sum\frac{a^{3}}{a^{2}...

11-09-2015 - 22:07

 

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$
Chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}+\frac{b^{3}}{b^{2}+1}+\frac{c^{3}}{c^{2}+1} \geq \frac{1}{10}$

 

Ta chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$

Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)

Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$


Trong chủ đề: $\sqrt{\frac{x+y}{x+1}}+...

17-05-2015 - 11:50

$\sum \sqrt{\frac{x+y}{x+1}}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+1)(y+1)(z+1)}}}$

chỉ cần cm $(x+y)(y+z)(z+x)\geq (x+1)(y+1)(z+1)$

$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\geq \sum \frac{4}{x}-\sum \frac{2}{xy}\geq \sum \frac{1}{xy}+\sum \frac{1}{x}$

$\Rightarrow \sum xy(x+y)\geq \sum x+\sum xy$ dpcm

chỗ này làm rõ hơn đi bạn !!