duaconcuachua98

Một bệnh nhân bị nghi là có thể mắc một trong $3$ bệnh $A,B,C$ với các xác suất tương ứng là $0,3;0,4;0,3$. Người đó đến khám ở 4 bác sĩ một cách độc lập. Bác sĩ thứ nhất chẩn đoán bệnh $A$. Bác sĩ thứ hai chẩn đoán bệnh $B$. Bác sĩ thứ ba chẩn đoán bệnh $C$ và bác sĩ thứ tư chẩn đoán bệnh $A$. Hỏi sau khi khám bệnh, người bệnh cần đánh giá lại xác suất mắc bệnh $A,B,C$ của mình là bao nhiêu. Biết rằng xác suất chẩn đoán đúng của mỗi ông bác sĩ là $0,6$; và chẩn đoán nhầm sang hai bệnh còn lại là $0,2$ và $0,2$

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (4x^{2}+y+1)\sqrt{x^{2}+y}+3x^{2}(x-1)=3x(1-y)+2 & \\ \sqrt[3]{3x+2}+x\sqrt{3x-2}=2\sqrt{3-2y} & \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z\in \left [ 0;2 \right ]$

Tìm $\min P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+6(xy+yz+zx)+\frac{32}{\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}+2z}}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{c}{2}\leq a+b\leq c$ và $\frac{2}{3}\leq \frac{a^{2}}{b^{2}}\leq \frac{3}{2}$. Tìm $GTLN$ và $GTNN$ của $P=\frac{9(a+b)}{c}+\frac{6ac+bc}{6a^{2}+b^{2}}+\frac{6bc+ac}{6b^{2}+a^{2}}$

 

 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 

$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

Cách khác: BĐT tương đương $\sum \frac{4}{1-c}\leq \sum \frac{1}{c}+9$

Ta chứng minh: $\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\leq 18c-3$ $(1)$

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 5c-1\leq -18c^{3}+21c^{2}-3c\Leftrightarrow 18c^{3}-21c^{2}+8c-1\leq 0\Leftrightarrow \left ( 3c-1 \right )^{2}(2c-1)\leq 0$

Do $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên $a+b>c\Leftrightarrow c< \frac{1}{2}$

Vậy bđt cơ sở là đúng 

Tương tự $\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\leq 18a-3$ và $\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\leq 18b-3$

Cộng 3 bđt lại suy ra đpcm 

 

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$

Chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}+\frac{b^{3}}{b^{2}+1}+\frac{c^{3}}{c^{2}+1} \geq \frac{1}{10}$

 

Ta chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$

Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)

Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$

Tìm $\max P=\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Giải phương trình: $\left ( \sqrt[3]{3+\sqrt{5}} \right )^{x}+\left ( \sqrt[3]{3-\sqrt{5}} \right )^{x}=2.3^{x-2}$

$\sum \sqrt{\frac{x+y}{x+1}}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+1)(y+1)(z+1)}}}$

chỉ cần cm $(x+y)(y+z)(z+x)\geq (x+1)(y+1)(z+1)$

$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\geq \sum \frac{4}{x}-\sum \frac{2}{xy}\geq \sum \frac{1}{xy}+\sum \frac{1}{x}$

$\Rightarrow \sum xy(x+y)\geq \sum x+\sum xy$ dpcm

chỗ này làm rõ hơn đi bạn !!

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{x+y}{x+1}}+\sqrt{\frac{y+z}{y+1}}+\sqrt{\frac{z+x}{z+1}}\geq 3$

Cho $a>2,b>0,c>0$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a+5}}-\frac{1}{(a-1)(b+1)(c+1)}$

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

1) $\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}=\frac{2}{\cos \frac{C}{2}}$

$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}\geq \frac{4}{\sin A+\sin B}=\frac{2}{\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}\geq \frac{2}{\cos \frac{C}{2}}$

Vậy $sinA=sinB\Leftrightarrow A=B$ suy ra tam giác cân tại $C$

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{b}{\sqrt{c+a-b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Xin nêu lên một cách khai thác giả thiết như sau:

Thoạt nhìn giả thiết đề cho, ta cảm thấy số 5 xuất hiện 2 lần, số 4 xuất hiện 1 lần và không thấy có nhiều đặc điểm nổi bật, xem tiếp đến dạng phát biểu của P thì thấy có một đặc điểm nổi lên là : y,z hoàn toàn bình đẳng với nhau và cô lập với x, điều này làm ta nghĩ tới việc ghép y,z lại với nhau.....

Bài giải có thể trình bày như sau:

Chú ý : $4(y^{2}+z^{2})-4yz \geq (y+z)^{2}$ nên từ giả thiết cho ngay : $4x^{2}-5x(y+z)+(y+z)^{2}\geq 0$ tới đây cho ta : $(x\geq y+z )(x\leq \frac{y+z}{4})$

Khai thác P ta nhận thấy phân thức đầu tiên $\sqrt{\frac{x}{3(y+z)}}$ đã được tách rõ hai phần {x} và {y+z} nên ta sẽ tiến hành đánh giá cơ bản để hai phân thức nằm ngay sau đó cũng đưa về được hai phần riêng biệt như phân thức đầu

Xét bổ đề : $\sqrt{\frac{y}{y+a}}+\sqrt{\frac{z}{z+a}}\leq 2\sqrt{\frac{y+z}{y+z+2a}}$ ( xin dành cho bạn đọc tự chứng minh) (a >0)

Áp dụng bổ đề : xem như 2x là a, khi đó

P$\leq \sqrt{\frac{x}{3y+3z}}+2\sqrt{\frac{y+z}{4x+y+z}}$

Đến đây hi vọng đặt t = x / (y+z) đưa P về 1 biến số bài toán thực hiện được ( P/s: hết time, mọi người thông cảm, có ai hăng hái đi tiếp nhé )

P/S: Đã gửi bài thì giải hết nhé bạn! Mình cũng cùng ý tưởng với bạn, sau đây mình xin giải chi tiết.

Đặt $f(x,y,z)=\sqrt{\frac{x}{3y+3z}}+\sqrt{\frac{y}{2x+y}}+\sqrt{\frac{z}{2x+z}}$

Ta chứng minh $f(x,y,z)\leq f(x,t,t)$ với $t=\frac{y+z}{2}$

Xét $f(x,y,z)-f(x,t,t)=\sqrt{\frac{y}{2x+y}}+\sqrt{\frac{z}{2x+z}}-2\sqrt{\frac{t}{2x+t}}$

Ta cần chứng minh $\sqrt{\frac{y}{2x+y}}+\sqrt{\frac{z}{2x+z}}\leq 2\sqrt{\frac{y+z}{4x+y+z}}$

Ta chứng minh bổ đề $\sqrt{\frac{y}{y+a}}+\sqrt{\frac{z}{z+a}}\leq 2\sqrt{\frac{y+z}{2a+y+z}}$

Đặt $y+a=m,z+a=n\Rightarrow \sqrt{\frac{m-a}{m}}+\sqrt{\frac{n-a}{n}}\leq 2\sqrt{\frac{m+n-2a}{m+n}}\Leftrightarrow 2-\left ( \frac{a}{m}+\frac{a}{n} \right )+2\sqrt{\left ( 1-\frac{a}{m} \right )\left ( 1-\frac{a}{n} \right )}\leq 4-\frac{8a}{m+n}$

Mặt khác $-\left ( \frac{a}{m}+\frac{a}{n} \right )\leq -\frac{4a}{m+n}$

Bổ đề trở thành $2\sqrt{\left ( 1-\frac{a}{m} \right )\left ( 1-\frac{a}{n} \right )}\leq 2-\frac{4a}{m+n}$

Lại có $2\sqrt{\left ( 1-\frac{a}{m} \right )\left ( 1-\frac{a}{n} \right )}\leq 2-\left ( \frac{a}{m}+\frac{a}{n} \right )\leq 2-\frac{4a}{m+n}$

Bổ đề được chứng minh 

Sử dụng bổ đề với $a=2x\Rightarrow f(x,y,z)\leq f(x,t,t)=\sqrt{\frac{x}{6t}}+2\sqrt{\frac{t}{2x+t}}$

Đặt $\frac{x}{t}=k\Rightarrow f(x,t,t)=\sqrt{\frac{6}{k}}+2\sqrt{\frac{1}{2k+1}}=f(k)$

Từ giả thiết suy ra $4x^{2}-5x(y+z)+4y^{2}+4z^{2}-4yz=0\geq 4x^{2}-5x(y+z)+(y+z)^{2}\Leftrightarrow \frac{y+z}{4}\leq x\leq y+z\Leftrightarrow \frac{1}{4}\leq k\leq 1$

Khảo sát $f(k)$ trên $\left [ \frac{1}{4};1 \right ]\Rightarrow maxf(k)=f(\frac{1}{4})=\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{6}$

Vậy $maxP=\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{6}$. Đẳng thức xảy ra khi $y=z=2x$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $4(x^{2}+y^{2}+z^{2})=5xy+5xz+4yz$

Tìm $\max P=\sqrt{\frac{x}{3y+3z}}+\sqrt{\frac{y}{2x+y}}+\sqrt{\frac{z}{2x+z}}$