KantouA11

nghiệm ...

Nghiệm đẹp mà em? 

Giải phương trình

$\sqrt{3x-14}-\sqrt{11-x}+3(x-5)^{2}-14x+62=0$

$\frac{14}{3} \leq x\leq 11$

BPT $\Leftrightarrow \sqrt{3x-14}-4+1-\sqrt{11-x}+3x^2 - 44x + 140=0\\ \Leftrightarrow (x-10)(\frac{3}{\sqrt{3x-14}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{11-x}} + 3x - 14) = 0 \Leftrightarrow x = 10$

$(1) \Leftrightarrow (3x-1)(2x - y + 1) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \vee y = 1 + 2x$

Giải Hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}x^3 - 2y^2 = 16 \\ y^3 -(3x+2)y^2 + 3x^2y=2(x^2+4) \end{matrix}\right.$

Cho số thực dương $x,y$ thỏa: $5x + 4y = 23xy$ . Tìm $min$:

$ P = 4x + 9y + \frac{3}{x} + \frac{7}{2y} $

$$\left\{ \begin{matrix} x^3 -y^3 -9y^2 + 3x - 30y = 36 \\ \sqrt{3-x}+ \sqrt{y+5}=x^3 +y^2 +2y - 4 \end{matrix} \right.$$

$(1) \Leftrightarrow x^3 + 3x = (y+3)^3+3(y+3)$

Xét hàm $f(t) = t^3 + 3t$ ($t \in R$ )

$\Rightarrow f(t) = f(x) = f(y+3)$

$\Rightarrow x = y+3$

Ta có: $f(t)' = 3t^2 + 3 > 0$ $ \forall t \in R$

$\Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên R. Hệ có nghiệm duy nhất $(x,y) = ....$

Have: $Eq(2):\sqrt{2(x-1)+y}+\sqrt{y-(x-1)}=3\Rightarrow x-1=a\rightarrow \sqrt{2a+y}=3-\sqrt{y-a}\rightarrow 2a+y=y-a+$3$-6\sqrt{y-a}\Leftrightarrow \frac{1-a}{2}=\sqrt{y-a}\Rightarrow \frac{a^2-2a+1}{4}=y-a\Rightarrow y=\frac{a^2-2a+1}{4}+a=\frac{(a+1)^2}{4}$

On the other hand: $Eq(1)\Leftrightarrow a+1+2y-2\sqrt{a}=\frac{19}{5}+\frac{1}{y^2+1}\Leftrightarrow \Leftrightarrow a+1+\frac{2(a+1)^2}{4}-2\sqrt{a}=\frac{19}{5}+\frac{16}{(a+1)^4+17}$

Đến đây thì dùng $W.$ thì nghiệm lẽ

Đoạn $2a+y=y-a+3-6\sqrt{y-a}$ bị bình phương sót.

Từ $(1)$: $(\sqrt{x-1}-1)^2=\frac{(2-y)(10y^2 +y+12)}{5(y^2+1)} \Rightarrow 0\leq y\leq 2$  $( y \geq x-1 \geq 0)$

Ta có: $0 \leq x-1 \leq y \leq 2$ (*)

Lấy (*) cộng tới lui  ta sẽ ra được $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y-(x-1)} \leq 1 \\ \sqrt{y+2(x-1)} \leq 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{y-(x-1)} +\sqrt{y+2(x-1)} \leq 3 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y - (x-1)=1\\ y+2(x-1)=4 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2\\ y=2\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}=35 (1) & \\ & \\ 2x^{2}+3y^{2}=4x-9y (2)& \end{matrix}\right.$

$(1) - 3(2) \Rightarrow $ $x^3 - 6x^2 +12x -35= y^3 +9y^2 + 27y $

$\Leftrightarrow x^3 -6x^2 + 12x - 8 = y^3 + 9y^2 + 27y + 27$

$\Leftrightarrow (x-2)^3 = (y+ 3)^3 \Leftrightarrow x = y + 5$

$(7)$ Cộng 2 phương trình lại, ta được:

$x^2 + 2xy + y ^2 + 3x + 3y = 4$

$\Leftrightarrow (x+y)^2 + 3(x+y) -4=0$

$\Leftrightarrow x+ y = 1 \vee x+y = -4$

$(9)$ ĐK: $\left\{\begin{matrix} y(x+y) \geq 0\\ (x+y)\geq 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ x+y \geq 0 \end{matrix}\right.$

$(2) \Leftrightarrow (1-x)(x+y)=0 \Leftrightarrow x=1 \vee x+y=0$

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+x+2-\frac{4}{y}=0\\ 1+y^{2}-y^{3}(4x-2)=0 \end{matrix}\right.$

ĐK: $y\neq 0$

Chia (2) cho $y^3$, đặt $u = \frac{1}{y}$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^3 + x + 2 -4u = 0 \\ u^3 + u +2-4x =0 \end{matrix}\right.$

Chỉ cho em cách đạo hàm của cái này đi ạ
$\sqrt[3]{(2-x^{3})^{2}}$

$(\sqrt[3]{(2-x^{3})^{2}} )' = ((2-x^3)^\frac{2}{3})'$

$\mathbf{u^\alpha = \alpha .u'.u^{\alpha -1}}$

$\Rightarrow \frac{2}{3}(-3x^2)(2-x^3)^{\frac{-1}{3}} = \frac{-2x^2}{\sqrt[3]{2-x^3}}$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y+2x-1}+\sqrt{1-y}=y+2 (1) & \\ x\sqrt{x}=\sqrt{y(x-1)}+\sqrt{x^{2}-y} (2) & \end{matrix}\right.$

ĐK: .......

$(2) VP \Leftrightarrow \sqrt{y(x-1)} + \sqrt{(x^2 -y).1} \leq \sqrt{(y+x^2-y)(x-1+1)} =\sqrt{x^3} = VT$

$\Rightarrow \frac{y}{x-1}=\frac{x^2-y}{1} \Leftrightarrow x=0 \vee y=x^2-x$ (k tìm được lệnh dấu ngoặc vuông =.=)

Mình có thêm cách nhân liên hợp này nữa, nhưng chắc cách của bạn Chunganh và của anh khanghaxuan là hay hơn

Giải:

$PT\Leftrightarrow 3x-\sqrt{x^2+8}+2006(x-1)+\sqrt{x^2+3}-2=0$

$\Leftrightarrow \frac{8x^2-8}{3x+\sqrt{x^2+8}}+2006(x-1)+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2}=0$

$(x-1).A=0$ trong đó $A=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2}+2006+\frac{8(x+1)}{\sqrt{x^2+8}+3x}$

$\Leftrightarrow x=1$. Ta C/m $A>0$

PT đầu (1) $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}=2009x-2008\Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{x^2+8}+\sqrt{x^2+3}}=2009x-2008 (2) > 0\Leftrightarrow x> \frac{2008}{2009}>0$

$\Rightarrow A> 0$

Cho mình thắc mắc chỗ này nhé: Hiện đang giải $x$ trên tập $R$, nhưng bạn liên hợp (1) để chặn $x > \frac{2008}{2009}$. Vậy với $x < \frac{2008}{2009}$, khi đó (2) vô nghiệm và biểu thức A có chắc là luôn dương? Hơn nữa, pt (2) vẫn còn 1 nghiệm $x=1$, mình nghĩ nếu từ đó chặn lấy đk thì chưa chặt chẽ lắm.

3) $\sqrt{x^{2}+12}+5\geq 3x+\sqrt{x^{2}+5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+12}-4+6-3x+3-\sqrt{x^2+5}\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3)\geq 0$ (*)

Ta có:$\sqrt{x^2+12}+4 > \sqrt{x^2+5}+3$

Với $x \geq -2 \Rightarrow  x+2 \geq 0\Rightarrow$:$ \frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3 \leq 0 (\forall x \geq -2 )$

Với $x < -2 \Rightarrow  x+2 < 0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty} (-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3)=-2 $

$\lim_{x\rightarrow -(-2)^+} (-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3)=-3 < 0$

$\Rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3 < 0$

$(*) \Leftrightarrow x-2 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | y \right | & & & & & \\ 2\sqrt[4]{\frac{y^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | x \right |& & & & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | y \right | (1) & & & & & \\ 2\sqrt[4]{\frac{y^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | x \right | (2)& & & & & \end{matrix}\right.$

Lấy (1) - (2)

$\Rightarrow 2\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{3}+4} + \sqrt{\frac{3}{2}}\left | x \right |=2\sqrt[4]{\frac{y^{4}}{3}+4} + \sqrt{\frac{3}{2}}\left | y \right |$

Xét hàm số $f(t)= 2\sqrt[4]{\frac{t^{4}}{3}+4} + \sqrt{\frac{3}{2}}\left | t \right |$

$\Rightarrow f(t)=f(x)=f(y)$

$\Rightarrow x=y$

Thay vào (1) $\Rightarrow$

Ta có $f(t)' = \frac{2t^3}{3\sqrt[4]{(\frac{t^4}{3}+4)^{3}}}+\sqrt{\frac{3}{2}}$ 

$f(0)' = \sqrt{\frac{3}{2}}$ > 0

$f(t)'  = \frac{2t^3}{3(|t|)^3\sqrt[4]{(\frac{1}{3}+\frac{4}{t^4})^{3}}}+\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{2}{3\sqrt[4]{(\frac{1} {3}+\frac{4}{t^4})^{3}}}+\sqrt{\frac{3}{2}} > 0 (\forall t\neq 0)$

$\Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên R $\Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất x=y=...

Còn cách nào khác không thế? Mình mới học lớp 10neen chưa học log... 

$\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-1+\sqrt{(x-1)^{2}+1}=3^{y-1} (1)& \\ y-1+\sqrt{(y-1)^{2}+1}=3^{x-1} (2)& \end{matrix}\right.$

Lấy (1) - (2)

$\Rightarrow (x-1)-(y-1)+\sqrt{(x-1)^{2}+1}-\sqrt{(y-1)^{2}-2y+2}=3^{y-1}-3^{x-1}$

$\Leftrightarrow (x-1)+\sqrt{(x-1)^{2}+1}+3^{x-1}=(y-1) + \sqrt{(y-1)^{2}+1}+ 3^{y-1}$

Xét hàm số $f(t)= t+\sqrt{t^{2}+1}+3^t$

$\Rightarrow f(t)=f(x-1)=f(y-1) \Rightarrow x-1=y-1 \Leftrightarrow x=y$

Với x=y Thay vào (1)...

Ta có: $f(t)'= 1 + \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}+3^t\ln 3$

Xét t=0 $\Rightarrow f(t)'=f(0)'=1+\ln3 >0$

Xét t$\neq$0 $\Rightarrow f(t)'=1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}}+3^t\ln3>0 (\forall t \neq 0)$

Vậy $f(t)'= 1 + \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}+3^t\ln 3$ >0 $ (\forall t)$

$\Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất x=y=...