Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Kudo Shinichi

Đăng ký: 09-12-2012
Offline Đăng nhập: 10-04-2020 - 14:23
***--

#479255 $P=\frac{x^2+y^2+4z^2}{(x+y+z)^2}$

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 26-01-2014 - 21:39

 

Dấu = có được khi $a=b=0;c=1$

Khi $a=b=0$ thì $x=y=0$ nhưng $x, y$ ở đây là các số thực dương mà bạn




#479220 $P=\frac{x^2+y^2+4z^2}{(x+y+z)^2}$

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 26-01-2014 - 20:17

Cho $x, y, z$ là các số thực dương. Tìm max và min của : $P=\frac{x^2+y^2+4z^2}{(x+y+z)^2}$




#457217 Cho 5 số, mỗi số gồm 100 chữ số 1 hoặc 2. Biết rằng trong 2 số bất kỳ có r hà...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 12-10-2013 - 20:44

Cho 5 số , mỗi số gồm 100 chữ số 1 hoặc 2. Biết rằng trong 2 số bất kỳ có r hàng bằng nhau và trong mỗi hàng có cả chữ số 1 và 2. Chứng minh rằng: $40\leq r \leq60$




#433853 $\sum \frac{a}{a^{2}+a+1} \...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 08-07-2013 - 21:35

Giả sử $a,b,c > 0,abc = 1$. Chứng minh các bất đẳng thức sau sử dụng bổ đề (đã c/m được):

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{1}{y^{2} + y + 1} + \frac{1}{z^{2} + z + 1} \geq 1 \forall x,y,z > 0, xyz = 1$.

 

 

f. $\sum \frac{1}{\sqrt{2a^{2}+6a+1}} \geq 1$

 

 

66808_176604525853692_586999602_n.jpg




#433840 $\sum \frac{a}{a^{2}+a+1} \...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 08-07-2013 - 21:00

Giả sử $a,b,c > 0,abc = 1$. Chứng minh các bất đẳng thức sau sử dụng bổ đề (đã c/m được):

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{1}{y^{2} + y + 1} + \frac{1}{z^{2} + z + 1} \geq 1 \forall x,y,z > 0, xyz = 1$.

 

 

d. $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1} \leq 3$

 

Giải: 

Áp dụng bổ đề với $x=\frac{1}{a^2} ; y=\frac{1}{b^2} ;z=\frac{1}{c^2}$ ta có:

$\sum \frac{1}{\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{a^2}+1}\geq 1 $

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^2+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^2+1}-1\geq 0 $

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^2+1}-1 + \sum \frac{a^2+1}{a^{4}+a^2+1}\geq \sum \frac{a^2+1}{a^{4}+a^2+1} $

$\Leftrightarrow 2\geq \sum \frac{a^2+1}{a^{4}+a^2+1}$

$\Leftrightarrow 4\geq \sum \frac{2(a^2+1)}{a^{4}+a^2+1} $

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+a+1}+\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 4 $

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 3$

$\Rightarrow Q.E.D$




#426926 $S= xy+\frac{1}{xy}$ có đạt giá trị lớn nh...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 13-06-2013 - 21:48

Cho $x, y >0$ thỏa mãn $x+y=1$ và $S=xy+\frac{1}{xy}$ 

a, Tìm min S

b, S có đạt giá trị lớn nhất không? Vì sao?




#403560 Cho $x;y;z > 0$ thỏa mãn: $2\leq x\leq 3; 4...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 10-03-2013 - 10:25

Cho $x;y;z > 0$ thỏa mãn: $2\leq x\leq 3; 4\leq y\leq 6$ và $x+y+z=12$
Tìm max: $P=xyz$


#402378 Cho a,b,c >0. a$\geq$ Max (b,c) . Tìm min $\fra...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 05-03-2013 - 22:51

Cho a,b,c >0. a$\geq$ Max (b,c) . Tìm min $A=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

Ta có: $a,b,c >0$;a$\geq$Max(b,c)
$\Rightarrow\frac{a}{b}\geq 1$ ; $0< \frac{c}{a}\leq 1$ $(1)$
Áp dụng bđt $Cauchy$ ta có: $1+\frac{b}{c}\geq 2\sqrt{\frac{b}{c}}$ ; $1+\frac{c}{a}\geq 2\sqrt{\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow A \geq \frac{a}{b}+2\sqrt{2}\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow A \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}} \right )+\left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\frac{a}{b}+3\left ( \sqrt[3]{2}-\sqrt{2} \right )\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$ $(2)$
Áp dụng bđt $Cauchy$ cho $\frac{a}{b}$; 4 số $\sqrt[4]{\frac{b}{c}}$; 6 số $\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$, ta có:
$\left ( \frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}} \right )\geq11\sqrt[11]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}$ $(3)$
Từ $(1)$ và để ý rằng $1-\frac{\sqrt{2}}{2}> 0$ còn $\sqrt[3]{2}-\sqrt{2}< 0$, nên từ $(2)$, $(3)$, ta có:
$A\geq \frac{11\sqrt{2}}{2}+\left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )+3\left ( \sqrt[3]{2}-\sqrt{2} \right )$
$A\geq 1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}$
$\text{Min A}= 1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}$$\Leftrightarrow a=b=c=1$


#400676 A=$\sqrt{x-1}+\sqrt{2x^{2}-5x+7}...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 28-02-2013 - 16:06

dấu bằng xảy ra khi $x-1=2x^{2}-5x+7$ khi và chỉ khi $2x^{2}-6x+8=0$ thì không suy ra được dấu lớn hơn hoặc bằng như trên

Sai rồi bạn ơi, ở trên dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-1)(2x^{2}-5x+7)=0
\\ x-1=0

\end{matrix}\right.$
chứ không phải khi $x-1=2x^{2}-5x+7$


#400672 Cho (O;r) có 2 dây AB; CD vuông góc. Tìm mối quan hệ giữa OP với AB; CD; r.

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 28-02-2013 - 15:04

Cho (O;8cm) có 2 dây AB; CD vuông góc. Biết $OP=7cm$. Tính $AB^2+CD^2$

Giải: Kẻ $\left\{\begin{matrix} OH\perp AB \\ OK\perp CD \end{matrix}\right.$
Ta có: $AB^{2}=4AH^{2}=4(OA^{2}-OH^{2})$
$CD^{2}=4DK^{2}=4(OD^{2}-OK^{2})$
$\Rightarrow AB^{2}+CD^{2}= 4(OA^{2}+OD^{2})-4(OH^{2}+OK^{2}) =8R^{2}-4OP^{2}=512-196=316$


#399545 Tìm max: $T=\frac{a^{2}+1}{b^{2}...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 24-02-2013 - 08:17

Cho $a,b,c\geq0$ và $a+b+c=1$
Tìm max: $\text{T}=\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}$


#398606 Tìm min $\text{P}= x+y+z$

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 20-02-2013 - 19:26

Cho các số dương $x, y, z$ thỏa mãn: $6x^{2}+3y^{2}+2z^{2}=41$
Tìm min $\text{P}= x+y+z$


#398255 Tìm tham số $a>0$ để bất phương trình $a(x-a)(x-3)+1\...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 19-02-2013 - 17:00

a) Cho 3 số $a, b, c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}2a-b+2c<0 \\ 14a-25b+14c\geq 0 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng phương trình $ax^{2}+2bx+c=0$ luôn có nghiệm
b)Tìm tham số $a>0$ để bất phương trình $a(x-a)(x-3)+1\leq0$ có nghiệm thỏa mãn điều kiện $x>a$


#397978 Tìm $\max$ của biểu thức : $\text{A}=3-2x+...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 18-02-2013 - 17:03

Tìm $\max$ của biểu thức : $\text{A}=3-2x+\sqrt{5-x^2+4x}$.

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có :
$\text{A}=3-2x+\sqrt{5-x^2+4x}$.
$\text{A}=-1+(-2)(x-2)+\sqrt{1.(5-x^{2}+4x)}$
$\leq -1+\sqrt{4+1}.\sqrt{(x^{2}-4x+4)+(5-x^{2}+4x)} $
$\leq -1+3\sqrt{5}$
$\text{Max A}=-1+3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2\sqrt{5-x^{2}+4x}=x-2 \\ -1\leq x\leq 5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=2-\frac{6\sqrt{5}}{5}$


#397967 Tìm min: $P=\sqrt{a+1}+\sqrt{2b+1}+\s...

Gửi bởi Kudo Shinichi trong 18-02-2013 - 15:59

Cho các số $a,b,c$ không âm thỏa mãn: $a+b+c=5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{3c+1}$