Kudo Shinichi

 

Dấu = có được khi $a=b=0;c=1$

Khi $a=b=0$ thì $x=y=0$ nhưng $x, y$ ở đây là các số thực dương mà bạn

Cho $x, y, z$ là các số thực dương. Tìm max và min của : $P=\frac{x^2+y^2+4z^2}{(x+y+z)^2}$

Cho 5 số , mỗi số gồm 100 chữ số 1 hoặc 2. Biết rằng trong 2 số bất kỳ có r hàng bằng nhau và trong mỗi hàng có cả chữ số 1 và 2. Chứng minh rằng: $40\leq r \leq60$

Giả sử $a,b,c > 0,abc = 1$. Chứng minh các bất đẳng thức sau sử dụng bổ đề (đã c/m được):

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{1}{y^{2} + y + 1} + \frac{1}{z^{2} + z + 1} \geq 1 \forall x,y,z > 0, xyz = 1$.

 

 

f. $\sum \frac{1}{\sqrt{2a^{2}+6a+1}} \geq 1$

 

 

Giả sử $a,b,c > 0,abc = 1$. Chứng minh các bất đẳng thức sau sử dụng bổ đề (đã c/m được):

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{1}{y^{2} + y + 1} + \frac{1}{z^{2} + z + 1} \geq 1 \forall x,y,z > 0, xyz = 1$.

 

 

d. $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1} \leq 3$

 

Giải: 

Áp dụng bổ đề với $x=\frac{1}{a^2} ; y=\frac{1}{b^2} ;z=\frac{1}{c^2}$ ta có:

$\sum \frac{1}{\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{a^2}+1}\geq 1 $

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^2+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^2+1}-1\geq 0 $

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^2+1}-1 + \sum \frac{a^2+1}{a^{4}+a^2+1}\geq \sum \frac{a^2+1}{a^{4}+a^2+1} $

$\Leftrightarrow 2\geq \sum \frac{a^2+1}{a^{4}+a^2+1}$

$\Leftrightarrow 4\geq \sum \frac{2(a^2+1)}{a^{4}+a^2+1} $

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+a+1}+\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 4 $

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 3$

$\Rightarrow Q.E.D$

Cho $x, y >0$ thỏa mãn $x+y=1$ và $S=xy+\frac{1}{xy}$ 

a, Tìm min S

b, S có đạt giá trị lớn nhất không? Vì sao?

Cho $x;y;z > 0$ thỏa mãn: $2\leq x\leq 3; 4\leq y\leq 6$ và $x+y+z=12$
Tìm max: $P=xyz$

Cho a,b,c >0. a$\geq$ Max (b,c) . Tìm min $A=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

Ta có: $a,b,c >0$;a$\geq$Max(b,c)
$\Rightarrow\frac{a}{b}\geq 1$ ; $0< \frac{c}{a}\leq 1$ $(1)$
Áp dụng bđt $Cauchy$ ta có: $1+\frac{b}{c}\geq 2\sqrt{\frac{b}{c}}$ ; $1+\frac{c}{a}\geq 2\sqrt{\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow A \geq \frac{a}{b}+2\sqrt{2}\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow A \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}} \right )+\left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\frac{a}{b}+3\left ( \sqrt[3]{2}-\sqrt{2} \right )\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$ $(2)$
Áp dụng bđt $Cauchy$ cho $\frac{a}{b}$; 4 số $\sqrt[4]{\frac{b}{c}}$; 6 số $\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$, ta có:
$\left ( \frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}} \right )\geq11\sqrt[11]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}$ $(3)$
Từ $(1)$ và để ý rằng $1-\frac{\sqrt{2}}{2}> 0$ còn $\sqrt[3]{2}-\sqrt{2}< 0$, nên từ $(2)$, $(3)$, ta có:
$A\geq \frac{11\sqrt{2}}{2}+\left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )+3\left ( \sqrt[3]{2}-\sqrt{2} \right )$
$A\geq 1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}$
$\text{Min A}= 1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}$$\Leftrightarrow a=b=c=1$

dấu bằng xảy ra khi $x-1=2x^{2}-5x+7$ khi và chỉ khi $2x^{2}-6x+8=0$ thì không suy ra được dấu lớn hơn hoặc bằng như trên

Sai rồi bạn ơi, ở trên dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-1)(2x^{2}-5x+7)=0
\\ x-1=0

\end{matrix}\right.$
chứ không phải khi $x-1=2x^{2}-5x+7$

Cho (O;8cm) có 2 dây AB; CD vuông góc. Biết $OP=7cm$. Tính $AB^2+CD^2$

Giải: Kẻ $\left\{\begin{matrix} OH\perp AB \\ OK\perp CD \end{matrix}\right.$
Ta có: $AB^{2}=4AH^{2}=4(OA^{2}-OH^{2})$
$CD^{2}=4DK^{2}=4(OD^{2}-OK^{2})$
$\Rightarrow AB^{2}+CD^{2}= 4(OA^{2}+OD^{2})-4(OH^{2}+OK^{2}) =8R^{2}-4OP^{2}=512-196=316$

Cho $a,b,c\geq0$ và $a+b+c=1$
Tìm max: $\text{T}=\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}$

Cho các số dương $x, y, z$ thỏa mãn: $6x^{2}+3y^{2}+2z^{2}=41$
Tìm min $\text{P}= x+y+z$

a) Cho 3 số $a, b, c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}2a-b+2c<0 \\ 14a-25b+14c\geq 0 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng phương trình $ax^{2}+2bx+c=0$ luôn có nghiệm
b)Tìm tham số $a>0$ để bất phương trình $a(x-a)(x-3)+1\leq0$ có nghiệm thỏa mãn điều kiện $x>a$

Tìm $\max$ của biểu thức : $\text{A}=3-2x+\sqrt{5-x^2+4x}$.

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có :
$\text{A}=3-2x+\sqrt{5-x^2+4x}$.
$\text{A}=-1+(-2)(x-2)+\sqrt{1.(5-x^{2}+4x)}$
$\leq -1+\sqrt{4+1}.\sqrt{(x^{2}-4x+4)+(5-x^{2}+4x)} $
$\leq -1+3\sqrt{5}$
$\text{Max A}=-1+3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2\sqrt{5-x^{2}+4x}=x-2 \\ -1\leq x\leq 5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=2-\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Cho các số $a,b,c$ không âm thỏa mãn: $a+b+c=5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{3c+1}$