Kudo Shinichi

Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2k}$
Chứng minh: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{\sqrt{k}}{2}$

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn: $a+b+c=1$
CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{15}{4}abc\geq \frac{1}{4}$

Sr lúc trên tính nhầm đạo hàm, giải lại như sau:
$f'(x)=\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{x}{2}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Ta có: $f(0)=2,f(1)=\sqrt{\sqrt{2}}+\frac{1}{4}$
Vậy Max$f(x)=f(0)=2$

Em cũng chưa hiểu rõ về đạo hàm lắm
Anh có thể giải cách khác (THCS càng tốt) được không ?

Tính đạo hàm thôi
Giải như sau:
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{x}{2}$
$f'(x)\geq 0 \forall x\epsilon$[0,1]
Do đó hàm số đồng biến trên [0,1].
Vậy đạt giá trị lớn nhất tại $f(1)=\sqrt{2}+\frac{1}{4}$

sai rồi bạn ơi !!!!!!
khi x=0 thì $f(0)=2>\sqrt{2}+\frac{1}{4}$

Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác thoả mãn $a\leq b\leq c$. CMR: $\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 9bc$

Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. CMR:
$abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$

Vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ nên $\left | a \right |\leq 1;\left | b \right |\leq 1;\left | c \right |\leq 1$
$\Rightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\geq 0$
$\Rightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca+abc \geq 0$ (1)
Mặt khác:
$\left [ \left ( a+b+c \right )+1 \right ]^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}+2\left ( a+b+c \right )+1 \geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\left ( ab+bc+ca \right )+2\left ( a+b+c \right )+1\geq 0$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c+1\geq 0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM.
Dấu đẳng thức xảy ra tại $a=-1;b=0; c=0$ và các hoán vị

Kết thúc CM> Đẳng thức xảy ra tại $x=1,y=z=0$ và các hoán vị

Đẳng thức còn xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{3}$ mà

Cho x,y,z > 0 và x+y+z=1. CMR:
$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{y+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geq 2$

Tìm max: f(x)=$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\frac{x^{2}}{4}$ với $0\leq x\leq 1$