ablrise

Bài 51:Cho hàm liên tục $f:[0,+\infty)\to [0,1]$ thoả mãn $f(x+y)\leq f(x)f(y),\forall x,y\geq 0$.Chứng minh:$$\int_0^x f(t)dt \geq x\sqrt{f(2x)}.\forall x\geq 0$$

Một bài khá quen thuộc ,cần dùng thêm định lí Fubini để giải:
Bài 50:Cho hàm $f:[0;1]\to [0,+\infty)$ khả vi liên tục trên miền xác định.Đặt $M=\displaystyle \max_{x\in [0;1]} |f'(x)|$Chứng minh rằng:$$\left |\int_0^1 f^3\left(x\right)dx-f^2\left(0\right)\int_0^1 f\left(x\right)dx\right|\leq M \left(\int_0^1 f\left(x\right)dx\right)^2$$

Bài trên có bề ngoài ''gần giống'' với một bài đã post của bạn phudinhgioihan khi đặc biệt hoá hai tham số $a,b$ :
Bài 48:Cho hàm số $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ khả vi liên tục trên miền xác định.
Đặt $M=\displaystyle\max_{x\in [ 0;1]} |f'(x)|,m=\displaystyle\min_{x\in [0;1]} |f'(x)|$.Chứng minh rằng :$$\dfrac{m^2}{12}\leq\displaystyle\int_0^1 f^2(x)dx-\left(\displaystyle\int_0^1 f(x)dx\right)^2 \leq \dfrac{M^2}{12}$$

Hai bài sau khá hay
Bài 25:Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $$ f \left( f\left( x \right)\right)=xf\left(x\right), \forall x \in \mathbb{R} $$
Bài 26::Cho dãy số $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $x_0>0,x_1>0,x_{n+2}=\dfrac{2}{x_{n+1}+x_n},n\in\mathbb{N}$.Tìm $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} x_n$.
Hỏi thêm :Nếu thay số $2$ ở vế phải ở công thức xác định dãy $x_n$ thành $x_{n+2}=\dfrac{a}{x_{n+1}+x_n},a>0$ thì bài toán thay đổi thế nào?

Bài 13:

Cho $y=1; x\in R$ ta có:

\[f\left( {x + f\left( 1 \right)} \right) = \frac{1}{{1 + x}}\]

Đặt $t = x + f\left( 1 \right)$

Ta có: \[ \Rightarrow f\left( t \right) = \frac{1}{{1 + t - f\left( 1 \right)}} = \frac{1}{{t + a}}\]

Với: $a = 1 - f\left( 1 \right)$

Thử lại được $a=0$ vậy hàm số cần tìm là $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Bài này bạn làm chưa sử dụng giả thiết hàm nghịch biến và khi đặt biến $t=x+f\left(1\right)$ thì miền giá trị của $t$ không phải là $\left(0,+\infty\right)$ nên theo mình lời giải chưa hoàn chỉnh.Bạn có thể bổ sung thêm không?

Tiếp tục là các bài toán olimpic sv Ngoại thương 2011:

Bài 15: Cho $\mathbb{I}$ là một khoảng trong $\mathbb{R}$ và $a,b\in \mathbb{I},a< b$.Hàm $f:\mathbb{I}\to\mathbb{R}$ khả vi trên $\mathbb{I}$.Giả sử $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0,f'\left(a\right)
>0,f'\left(b\right)>0$.Chứng minh rằng $\exists c_1,c_2,c_3\in\left(a;b\right),c_1<c_2<c_3$ sao cho $f\left(c_2\right)=0,f^{'}\left(c_1\right)=f^{'}\left(c_3\right)=0$

Bài 16: Cho $a\in\mathbb{R_{+}^{*}}$,hàm $f:\left[0,a\right]\to\mathbb{R}$ là ánh xạ thuộc lớp $\mathbb{C^{1}}$ sao cho $f^{'}\left(x\right)>0,\forall x\in\left[0,a\right]$ và $f\left(0\right)=0$

a)Chứng minh rằng $\forall x\in\left[0,a\right]$ thì $\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt=xf\left(x\right)$
(ở đó $f^{-1}:\left[0,f\left(a\right)\right]\to\mathbb{R}$ là hàm ngược của $f$)

b)Từ đo suy ra $\forall \left(x,y\right)\in\left[0,a\right]$x$\left[0,f\left(a\right)\right],\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{y} f^{-1}\left(t\right)dt\geq xy$


Bài 17:Cho $f\left(x\right)=x^5+x+1$.Giải phương trình trên $\mathbb{R}$ :$f\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$

Bài 12:(olimpic sv Ngoại thương 2013): Cho hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ khả vi hai lần,$f\left(0\right)=2;f'\left(0\right)=-2;f\left(1\right)=1;f\left(x\right)\neq 0,\forall x\in\mathbb{R}$.Chứng minh rằng $\exists c\in\left(0;1\right)$ sao cho $$f\left(c\right)f'\left(c\right)+f''\left(c\right)=0$$


Bài 13(olimpic sv Ngoại thương 2013): Tìm tất cả các hàm xác định và nghịch biến trong khoảng $\left(0;+\infty\right)$ thỏa mãn $$f\left(x+f\left(y\right)\right)=\dfrac{y}{xy+1},\forall x,y>0$$


Bài 14(olimpic sv Ngoại thương 2013) Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định, liên tục trên $\left[1;2\right]$ thỏa mãn $\displaystyle\int_a^b f^2\left(x\right)dx \leq \dfrac{b^3-a^3}{3},\forall a,b\in\left[1;2\right],a\leq b$.Chứng minh rằng $$\displaystyle\int_1^2 f\left(x\right)dx\leq \dfrac{3}{2}$$

Bài 6:
Ta làm theo các bước:
1.Xét hàm $G\left(x\right)=\int_0^x f\left(t\right)dt$, từ giả thiết và sử dụng tích phân từng phần ta được $\int_0^1 G\left(t\right)dt=0$ suy ra $\exists x_0\in\left(0;1\right):G\left(x_0\right)=0$
2Xét hàm $H\left(x\right)=G\left(x\right)e^{-f\left(x\right)}$ và sử dụng định lí Rolle.
Bài 7:Cho $f:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}$ là hàm khả vi liên tục thoả mãn $f\left(0\right)=0,0<f'\left(x\right)\leq 1,\forall x\in\left[0;1\right]$.Chứng minh rằng:$$\left(\int_0^1 f\left(x\right)dx\right)^2\geq\int_0^1 \left(f\left(x\right)\right)^3dx$$

Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $$f\left(f\left(x\right)\right)=xf\left(x\right),\forall x\in\mathbb{R}$$