Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a\leq b\leq c$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm GTLN của $M=5a-4abc$
- Forgive Yourself và dogsteven thích
Nguyễn Thọ Thế Cường
$\sqrt{MF}$
Gửi bởi nguyencuong123 trong 19-10-2014 - 11:56
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a\leq b\leq c$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm GTLN của $M=5a-4abc$
Gửi bởi nguyencuong123 trong 15-09-2013 - 11:20
$\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}=\sum [(a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}]\geq \sum (a+1)-\frac{(a+1)b}{2}$.đến đây thì chắc bạn nghĩ ra rồi nhỉ.
Gửi bởi nguyencuong123 trong 14-09-2013 - 21:57
Max:$a^{4}+b^{4}+ab=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}+ab=[(a+b)^{2}-2ab]^{2}-2a^{2}b^{2}+ab$
Từ giả thiết ta có: $(a+b)^{2}-ab\leq 6$.
đặt $(a+b)=x,ab=y$.Nên ta có $x^{2}-y\leq 6$
Cần chứng minh $(x^{2}-2y)-2y^{2}+y\leq (6-y)^{2}-2y^{2}+y$.đến đây thì việc chứng minh hoàn tất
Gửi bởi nguyencuong123 trong 14-09-2013 - 21:52
Min: $3\leq a^{2}+b^{2}+ab\leq a^{2}+b^{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\Rightarrow 6\leq 3(a^{2}+b^{2})\Rightarrow 2\leq a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{4}+b^{4}+ab\geq a^{2}+b^{2}+ab$
Gửi bởi nguyencuong123 trong 01-09-2013 - 23:49
1.Cho các số thực dương a,b,c sao cho $abc=1$.Chứng minh:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
2.Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6abc}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq 5$
3..Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
4..Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:
$(\frac{a}{2a+b})^{3}+(\frac{b}{2b+c})^{3}+(\frac{c}{2c+a})^{3}\geq \frac{1}{9}$
Gửi bởi nguyencuong123 trong 31-08-2013 - 23:53
Ta sẽ chứng minh $VT\geq \frac{3}{2}$
Ta có: $VT=\sum \frac{1}{1+ab}=\frac{2\sum ab+3abc+3}{\sum ab+3abc+a^{2}b^{2}c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum ab+3\geq 3abc+3a^{2}b^{2}c^{2}$ mà $3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1\Rightarrow 3abc\leq 3$ và $\sum ab\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geq 3(abc)^{2}$ vì $abc\leq 1\Rightarrow (abc)^{3}\leq abc\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geq abc$.
Từ các điều trên ta có đpcm
Gửi bởi nguyencuong123 trong 30-08-2013 - 23:13
Ta có: Áp dụng bđt phụ: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$
Ta có: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$
$\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{abc^{4}}}$
Mà $\frac{1}{1+\sqrt{abc^{4}}}+\frac{1}{\sqrt{a^{3}b^{3}}}\geq \frac{2}{1+\sqrt[4]{(abc)^{4}}}=\frac{2}{1+abc}$
Từ các điều này suy ra đpcm
Gửi bởi nguyencuong123 trong 30-08-2013 - 22:10
$cho a,b,c\geqslant 0 thoã mãn a+b+c=3. cm: \sum \frac{b+c}{2a^2+bc}\geqslant 2$
$\frac{b+c}{2a^{2}+bc}=\frac{3-a}{2a^{2}+bc}\geq \frac{3-a}{2a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}=\frac{4(3-a)}{8a^{2}+(3-a)^{2}}$ đến đây xét đạo hàm là ra luôn phải
Gửi bởi nguyencuong123 trong 30-08-2013 - 21:52
Gửi bởi nguyencuong123 trong 21-08-2013 - 21:45
bài này dễ:$PT\Leftrightarrow 2x^{2}+12x+18=\sqrt{\frac{x+5}{2}}-1\Leftrightarrow 2(x+3)^{2}=\frac{x+3}{2(\frac{\sqrt{x+5}}{2}+1)}$.đến đây thì dễ rồi
Gửi bởi nguyencuong123 trong 11-08-2013 - 11:50
Câu 4: $A=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq \sum a-\sum \frac{\sqrt{a}b}{2}$
Mà $3(\sum \sqrt{a})=(a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}+a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}=\sum (b\sqrt{b}+a\sqrt{b})+\sum b\sqrt{a}\geq \sum 2(b\sqrt{a})+\sum b\sqrt{a}=3\sum b\sqrt{a}\geq \sum b\sqrt{a}\leq \sum \sqrt{a}\leq \sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)}=3$
nên ta tim được Min A
Gửi bởi nguyencuong123 trong 11-08-2013 - 11:29
Bái: $VT=\sum a^{2}+abc+abc+1\geq \sum a^{2}+3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \sum a^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 3(ab+bc+ac)$ (Theo bddt Schur)
Gửi bởi nguyencuong123 trong 10-08-2013 - 22:06
Gửi bởi nguyencuong123 trong 10-08-2013 - 21:40
Bài 1: Ta có: $x^{2}+1\geq 2x$,$y^{2}+1\geq 2y$,$z^{2}+1\geq 2z$.$z^{2}+y^{2}\geq 2yz $.Cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết nên ta có điều phải chứng minh.
Bài 2:Từ giả thiết $1=x+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}}\Rightarrow \frac{x}{y}\leq \frac{1}{4}$.Ta có $A=\frac{y}{x}+\frac{16x}{y}-\frac{15x}{y}\geq 2\sqrt{16}-15.\frac{1}{4}$. Kết thúc
Gửi bởi nguyencuong123 trong 10-08-2013 - 19:19
Bài này dễ mà Ta có$\prod (1-a )\geq 0$ và $\sum \frac{1}{1+a+b}\geq \frac{9}{3+2(a+b+c)}\geq \frac{9}{3+2(1+1+1)}=1$.
không bjt có đúng không
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học