nguyencuong123

Giải hệ :$\left\{\begin{matrix} x^{3}(y^{2}+3y+3)=3y^{2} & & \\ y^{3}(z^{2}+3z+3)=2z^{2} & & \\ z^{3}(x^{2}+3x+3)=3x^{2} & & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bổ đề Trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được 3 số sao cho tổng 3 số chia hết cho 3.

Ta có:Tiếp tục chứng minh:

Trong 17 số tự nhiên luôn chọn được 9 số sao cho tổng của 9 số chia hết cho 9.
Áp dụng bổ đề ở trên ta có :
Lấy 3 bộ 5 số ta chọn được 3 bộ số có tổng chia hết cho 3.
Như vậy còn 8 số, lấy tiếp 5 số thì ta chọn được 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Còn 5 số cuối cùng ta chọn được thêm 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Do đó ta có 5 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Tổng 5 bộ 3 số lần lượt là : $T_{1},..T_{5}$
Xét 5 số tự nhiên :

$\frac{T_1}{3};\ \frac{T_2}{3};\ \frac{T_3}{3};\ \frac{T_4}{3};\ \frac{T_5}{3}$ ta sẽ cọn đc 3 số có tổng chia hết cho 3 nên tổng của 3 số  đó sẽ chia hết cho 9

d)$PT\Leftrightarrow (x-2)^{2}-7=\sqrt{x+3}$. đặt $y-2=\sqrt{x+3}$. Ta có:$\left\{\begin{matrix} x^{2}-4x+3=y & \\ y^{2}-4x+3=x & \end{matrix}\right.$. đây là hệ PT đối xứng loại 2 nên cách giải quá dễ

Bài này nhìn phức tạp nhưng thực chất là dễ thôi$PT\Leftrightarrow 3(x^{2}-6x+9)-27-6+6y^{2}+2z^{2}+3y^{2}z^{2}=0\Leftrightarrow 3(x-3)^{2}+6y^{2}+2z^{2}+3(yz)^{2}=33\Rightarrow 6y^{2}\leq 33\Leftrightarrow -2\leq y\leq 2$.Xét y sau đó khử được y ta xét tiếp là xong thôi

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x-3}+2)}{\sqrt{x+3}+2}+2\sqrt{(x+1)(x^{2}-3x+5)}=2(1-x)$. đã xuất hiện nhân tử chung và pt trở nên dễ dàng

Không giảm tổng quát ta giả sử $a\geq b$.

  1./ Nếu $a=b$: thì ta có $M=2.\frac{a+1}{a}=2(1+\frac{1}{a})$ để $M$ nguyên ta suy ra $a=1$=$b$

  2./ Nếu $a>b$:

                       +Nếu $a=b+1$$\Rightarrow M=\frac{b+2}{b}+1=2+\frac{2}{b}$.Vậy để $M$ nguyên ta suy ra $b=1$ và $b=2$ tức là $a=2$ và $a=3$.

                       +Nếu $a>b+1$ thì dế thấy rằng $M$ không nguyên.

Tóm lại: $a=1;2;3$

             $b=1;2$

Là những giá trị càn tìm.

 

P/S:  $M=\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$

Bạn nhầm rồi.Sao lại không, cả hai đều là phân số,tổng là số tự nhiên thì bình thường mà

Mình làm nốt : $a+b+c+2=abc\Rightarrow\sum \frac{a}{a+1}=1$.đặt $\frac{a}{a+1}=x,\frac{b}{b+1}=y,\frac{c}{c+1}=z$ nên $a=\frac{y+z}{x},b=\frac{x+z}{y},c=\frac{x+y}{z}$ với x+y+z=1.Nên bđt tương đương $\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+6\geq 2(\sum \sqrt{\frac{y+z}{x}.\frac{x+z}{y}})\Leftrightarrow \sum \frac{x+y+z}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(z+x)}{xy}})\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(x+z)}{xy}})\Leftrightarrow \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})$.Áp dụng AM-GM cho vế phải $2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})\leq \frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{x}=2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$ tương tự kết hợp vs $\sum \frac{1}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}=9$ ta có điều phải chứng minh

hixx,  $\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} + \frac{1}{{{c^2} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\$ 

mà bạn

Thế thì mình làm cho: Vì $x\geq 1\Rightarrow x^{3}\geq x^2$ nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{a^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+1}\geq \frac{3}{abc+1}$.

đã có ở đây

Em mới lên 10 thôi, không biết có đúng không:

Ta có:Từ M vẽ các đường thẳng song song với AB cắt AC tại C' và song song với AC cắt AB ở B'.Ta có:$\underset{MP}{\rightarrow}=\frac{1}{2}(\underset{MB}{\rightarrow}+\underset{MB'}{\rightarrow})$ và $\underset{MQ}{\rightarrow}=\frac{1}{2}(\underset{MC}{\rightarrow}+\underset{MC'}{\rightarrow})\Rightarrow \underset{MQ}{\rightarrow}+\underset{MP}{\rightarrow}=\frac{1}{2}(\underset{MC}{\rightarrow}+\underset{MB}{\rightarrow}+(\underset{MC'}{\rightarrow}+\underset{MB')}{\rightarrow})=\frac{1}{2}(\underset{MC}{\rightarrow}+\underset{MB}{\rightarrow}+\underset{MA}{\rightarrow})=\frac{1}{2}(3\underset{MO}{\rightarrow}+\underset{0A}{\rightarrow}+\underset{0B}{\rightarrow}+\underset{0C}{\rightarrow})=\frac{3}{2}\underset{MO}{\rightarrow}$ (Do OA+OB+OC =0 (định lý)  

Bài 3 đơn giản nên mình nuốt luôn: Dựng $OI\perp d$ nên dễ dàng chứng minh được AB+AC=2AI $\leq 2AO$.Kết thúc chứng minh

Bài 3 làm nốt: $PT\Leftrightarrow x^{2}(y+2)+1-y^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}(y+2)+(4-y^{2})=3\Leftrightarrow (x^{2}+2-y)(2+y)=3$.đến đây thì chỉ còn việc xét ứơc

Nếu vậy phải giải làm sao ạ?

Em cảm ơn.

để anh trình bày, câu này hơi trâu tí em cố gắng hiểu nha. Kí hiệu $\sum$ là tổng hoán vị nhé:

Ta có: $a+b\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{2}$ (bđt C-S) nên$VT=\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}\sqrt{c}}=\sum \left [\frac{ \sqrt{a}}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}) \right ]\geq \sum \left [ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}.\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \right ]=\sum \left [ \frac{2\sqrt{2}\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \right ]\geq \sum \frac{2\sqrt{2}\sqrt{a}}{\sqrt{2(b+c)}}=2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$

Bài này anh làm nốt:

Ta có:$a^{2}-b^{2}=c^{2}-d^{2}\Leftrightarrow a^{2}+d^{2}=b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow (a+d)^{2}+2ad=(b+c^{2})+2bc\Leftrightarrow (a+d)^{2}-(b+c)^{2}=2(bc-ad)\Leftrightarrow (a+b+c+d)(a+d-b-c)=2(bc-ad)$ nên$(a+b+c+d)(a+d-b-c)\vdots 2$ mà $(a+b+c+d)+(a+d-b-c)\vdots 2$ nê $(a+b+c+d)\vdots 2$  nên a+b+c+d là hợp số

Anh xin làm:

đặt $f_{(x)}=ax^{2}+bx+c$. Biến đổi tương đương ta sẽ có: 2ax-(a-b)=x. vì biến đổi trên mới mọi x thay đổi nên a=b=$\frac{1}{2}$.Từ điều này ta tìm được đa thức đó.

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho a; b; c>0.Chứng minh: $\frac{\sqrt{a+b}}{c}+\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{2}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})$

Mình đang học lớp 8.

Thanks.

P/s:hình như đề sai vì mình thấy hai vế không đồng bậc. Minh nghĩ vế trái nên là:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}$

Không biết có đúng ko. Mong các bạn thẩm định.

Thanks a lot.

Hình như VT như em nói.