Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


nguyencuong123

Đăng ký: 13-12-2012
Offline Đăng nhập: 22-10-2014 - 21:02
***--

#440947 Bài toán bất đẳng thức hóc búa

Gửi bởi nguyencuong123 trong 07-08-2013 - 09:05

Bài này mình xin làm, chắc kiến thức này lớp 8 vẫn hiểu:

Bđt $\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+\frac{xyz+1}{yz+y}+\frac{xyz+1}{zx+z}\geq 3\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+1+\frac{xyz+1}{yz+y}+1+\frac{xyz+1}{zx+z}+1\geq 6\Leftrightarrow \frac{xyz+1+xy+x}{x(y+1)}+\frac{xyz+1+yz+y}{y(z+1)}+\frac{xyz+1+xz+z}{z(x+1)}\geq 6\Leftrightarrow \frac{xy(z+1)+(x+1)}{x(y+1)}+\frac{yz(x+1)+(y+1)}{y(z+1)}+\frac{zx(y+1)+(z+1)}{zx(x+1)}=\frac{y(z+1)}{y+1}+\frac{x+1}{x(y+1)}+\frac{z(x+1)}{z+1}+\frac{y+1}{y(z+1)}+\frac{z(x+1)}{z+1}+\frac{y+1}{y(z+1)}\geq 6$ (Áp dụng bđt AM-GM cho 6 số).Vấn đề đã đc giải quyết  :wub:  :icon6:




#440895 Viết 3102 thành tổng của các số nguyên dương sao cho tích các số hạng lớn nhất

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 21:57

Theo mình cần có dữ kiện là viết thành tổng của bao nhiêu số nguyên.vì đây là cơ sở để áp dụng bđt AM-GM tìm MAx của tích khi tổng không đổi  :closedeyes:  :mellow:




#440890 tìm nghiệm nguyên của phương trình

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 21:47

Bài này dễ thôi mà: $PT\Leftrightarrow x^{2}+2xy+y^{2}+4y^{2}+4y=13\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(2y+1)^{2}=14$. đến đây thì dễ rồi mà




#440879 Tìm GTNN của biểu thức $y=\sqrt{-x^2+3x+10}+\sqrt...

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 21:23

Bài này 1 cách là dùng đạo hàm nhưng có lẽ bạn chưa học nên mình không sử dụng

Cách thứ 2 hoàn toàn tương tự đây




#440871 Đề thi chọn HSG lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2010-2011

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 20:55

Câu bđt ở đây




#440866 Cho a,b tự nhiên sao cho $ab=2012^{2013}$ hỏi a + b có t...

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 20:35

Sao câu hỏi hơi vô lý vì nếu $a=2012^{2012}, b=2012$ thì a+b rõ ràng chieu hết cho 2012 mà




#440864 Chứng minh rằng $[2a]+[2b]\geq [a]+[b]+[a+b]$

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 20:30

Bài này mình xin làm: Ta có: Xét $a,b\geq 0$ và $a,b\leq 0$ thì ta dễ dàng mở ngoặc và dấu bằng xảy ra

Xét $a>0>b$  thì bđt trở thành $2a-2b\geq a-b+\begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}\Leftrightarrow a-3b\geq \begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}$. Xét $\left | a \right |\geq \left | b \right |\Rightarrow a+b\geq 0\rightarrow \left | a+b \right |=a+b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq a+b\Leftrightarrow -4b\geq 0$ luôn đúng vì b<0.Xét $\left | a \right |<\left | b \right |\Rightarrow \left | a+b \right |=-a-b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq -a-b\Leftrightarrow 2a-2b\geq 0\Leftrightarrow a\geq b$ luôn đúng theo giả sử trên.Vậy bđt hoàn tất chứng minh




#440856 $\sum \frac{1}{1+a+a^2+a^3}\geqslant...

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 20:10

 Cho mình hỏi vì sao có thể biến: (a,b,c,d)=($\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{ 2}};\frac{da}{b^{2}}$ )

Thì thế vần đảm bảo được abcd=1 thôi.đây là cách biến rồi thường được sử dụng khi cho tích =1




#440800 $8x^{2}+8x+1= \sqrt{x+5}$

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 15:15

Bài này mình xin làm:

ĐKXĐ: $x\geq -5$

Ta có: $PT\Leftrightarrow 2(2x+1)^{2}-1=\sqrt{x+5}$. đặt $2y+1=\sqrt{x+5}$.Ta có hệ PT: $\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+8x+1=2y+1 & \\ 8y^{2}+8y+1=2x+1& \end{matrix}\right.$. đây là hệ pt đối xứng và cách giải nó cơ bản rồi




#440797 $\frac{x+y}{2};\sqrt{xy};\d...

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 15:09

Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.

 

Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:

 

$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$

 

$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$

 

$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$

 

$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$

 

Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.

 

Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$

 

Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài

Nếu thế trong trường hợp x và y khác nhau thì sao nhỉ  :(  :mellow:




#440736 Chứng minh $\sum \sqrt{a+b^{2}}\leq...

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 09:11

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn a+b+c=1.

Chứng minh: $\sqrt{a+b^{2}}+\sqrt{b+c^{2}}+\sqrt{c+a^{2}}\leq \frac{11}{5}$




#440733 $A=\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2...

Gửi bởi nguyencuong123 trong 06-08-2013 - 08:50

Bài 4:

Đặt $t=\dfrac{1}{z}$, thế thì từ giả thiết ta có $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=3$.

 

Bây giờ:

$$P^2 \ge \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{xy}{x+y+1}+\dfrac{yt}{y+t+1}+\dfrac{tx}{t+x+1}\right)^2$$

Theo Cauchy-Schwarz:

$$\dfrac{xy}{x+y+1}+\dfrac{yt}{y+t+1}+\dfrac{tx}{t+x+1}=\dfrac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}}+\dfrac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{t}+\frac{1}{yt}}+\dfrac{1}{\frac{1}{t}+\frac{1}{x}+\frac{1}{tx}}$$

$$\ge \dfrac{9}{2.3+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yt}+\frac{1}{tx}}\ge \dfrac{9}{6+\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2} \ge \dfrac{9}{6+3}=1$$

 

Vậy $\min P=1$ đạt được khi $x=y=z=1$.

 

Bạn ơi, sao có đoạn $P^{2}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{xy}{x+y+1})^{2}$ được nhỉ, với lại kết quả min P=1 đạt được khi x=y=z=1 cũng sai.

Vì khi thay x=y=z=1 thì [email protected]@.. :(  :mellow:  :botay




#440694 Chứng minh \sum \frac{a^{5}-a^{2}}...

Gửi bởi nguyencuong123 trong 05-08-2013 - 22:23

Mình làm luôn.

Không mất tính tổng quát ta chỉ cần chứng minh bđt trong trường hợp abc=1 là được$\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=\frac{a^{5}-a^{2}.abc}{a^{5}+(b^{2}+c^{2})abc}=\frac{a^{4}-a^{2}bc}{a^{4}+(b^{2}+c^{2}bc)}\geq \frac{2a^{4}-a^{2}(b{2}+c^{2})}{2a^{4}+(b^{2}+c^{2})^{2}}$

đặt $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$.Khi đó ta cần chứng minh:$\displaystyle{\sum \frac{2a^{2}-a(b+c)}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)(\frac{a}{2a^{2}+(b+c)^{2}}-\frac{b}{2b^{2}+(c+a)^{2}})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}.\frac{c^{2}+ac+bc+a^{2}+b^{2}-ab}{(2a^{2}+(b+c)^{2})(2b^{2}+(c+a)^{2})}\geq 0}$

(Luôn đúng theo S.O.S)




#440687 cho $a+b=p$, $p$ thuộc $P$.Chứng minh $(a,...

Gửi bởi nguyencuong123 trong 05-08-2013 - 21:54

Thì $\frac{2n+16}{2n-5}=\frac{2n-5+21}{2n-5}=1+\frac{21}{2n-5}$ mà 1 là số tự nhiên nên để $\frac{2n+16}{2n-5}\in N$ thì $\frac{21}{2n-5}\in N$ :luoi:  :wub:




#440681 cho $a+b=p$, $p$ thuộc $P$.Chứng minh $(a,...

Gửi bởi nguyencuong123 trong 05-08-2013 - 21:38

Xin làm câu 1 luôn :

Ta có : đặt $a=x^{n}y^{m}$ (x,y  là 2 số nguyên tố) .Theo bài ra ta sẽ có: $(n+1)(m+1)=6$. Nên ta sẽ tìm được $\left\{\begin{matrix} n=1 & \\ m=2 & \end{matrix}\right.$ và ngược lại.

Ta chỉ xét 1 trường hợp   $\left\{\begin{matrix} n=1 & \\ m=2 & \end{matrix}\right.$ ta có:

$A=xy^{2}$ nên theo bài ra$x+y+y^{2}+xy+xy^{2}+1=28\Leftrightarrow x+y+y^{2}+xy+xy^{2}=27\Rightarrow y^{2}<27\Rightarrow 1\leq y\leq 5$. đến đây chứng minh đã hoàn tất  :lol: