nguyencuong123

Bài này mình xin làm, chắc kiến thức này lớp 8 vẫn hiểu:

Bđt $\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+\frac{xyz+1}{yz+y}+\frac{xyz+1}{zx+z}\geq 3\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+1+\frac{xyz+1}{yz+y}+1+\frac{xyz+1}{zx+z}+1\geq 6\Leftrightarrow \frac{xyz+1+xy+x}{x(y+1)}+\frac{xyz+1+yz+y}{y(z+1)}+\frac{xyz+1+xz+z}{z(x+1)}\geq 6\Leftrightarrow \frac{xy(z+1)+(x+1)}{x(y+1)}+\frac{yz(x+1)+(y+1)}{y(z+1)}+\frac{zx(y+1)+(z+1)}{zx(x+1)}=\frac{y(z+1)}{y+1}+\frac{x+1}{x(y+1)}+\frac{z(x+1)}{z+1}+\frac{y+1}{y(z+1)}+\frac{z(x+1)}{z+1}+\frac{y+1}{y(z+1)}\geq 6$ (Áp dụng bđt AM-GM cho 6 số).Vấn đề đã đc giải quyết   

Theo mình cần có dữ kiện là viết thành tổng của bao nhiêu số nguyên.vì đây là cơ sở để áp dụng bđt AM-GM tìm MAx của tích khi tổng không đổi   

Bài này dễ thôi mà: $PT\Leftrightarrow x^{2}+2xy+y^{2}+4y^{2}+4y=13\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(2y+1)^{2}=14$. đến đây thì dễ rồi mà

Bài này 1 cách là dùng đạo hàm nhưng có lẽ bạn chưa học nên mình không sử dụng

Cách thứ 2 hoàn toàn tương tự đây

Câu bđt ở đây

Sao câu hỏi hơi vô lý vì nếu $a=2012^{2012}, b=2012$ thì a+b rõ ràng chieu hết cho 2012 mà

Bài này mình xin làm: Ta có: Xét $a,b\geq 0$ và $a,b\leq 0$ thì ta dễ dàng mở ngoặc và dấu bằng xảy ra

Xét $a>0>b$  thì bđt trở thành $2a-2b\geq a-b+\begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}\Leftrightarrow a-3b\geq \begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}$. Xét $\left | a \right |\geq \left | b \right |\Rightarrow a+b\geq 0\rightarrow \left | a+b \right |=a+b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq a+b\Leftrightarrow -4b\geq 0$ luôn đúng vì b<0.Xét $\left | a \right |<\left | b \right |\Rightarrow \left | a+b \right |=-a-b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq -a-b\Leftrightarrow 2a-2b\geq 0\Leftrightarrow a\geq b$ luôn đúng theo giả sử trên.Vậy bđt hoàn tất chứng minh

 Cho mình hỏi vì sao có thể biến: (a,b,c,d)=($\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{ 2}};\frac{da}{b^{2}}$ )

Thì thế vần đảm bảo được abcd=1 thôi.đây là cách biến rồi thường được sử dụng khi cho tích =1

Bài này mình xin làm:

ĐKXĐ: $x\geq -5$

Ta có: $PT\Leftrightarrow 2(2x+1)^{2}-1=\sqrt{x+5}$. đặt $2y+1=\sqrt{x+5}$.Ta có hệ PT: $\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+8x+1=2y+1 & \\ 8y^{2}+8y+1=2x+1& \end{matrix}\right.$. đây là hệ pt đối xứng và cách giải nó cơ bản rồi

Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.

 

Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:

 

$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$

 

$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$

 

$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$

 

$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$

 

Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.

 

Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$

 

Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài

Nếu thế trong trường hợp x và y khác nhau thì sao nhỉ   

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn a+b+c=1.

Chứng minh: $\sqrt{a+b^{2}}+\sqrt{b+c^{2}}+\sqrt{c+a^{2}}\leq \frac{11}{5}$

Bài 4:

Đặt $t=\dfrac{1}{z}$, thế thì từ giả thiết ta có $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=3$.

 

Bây giờ:

$$P^2 \ge \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{xy}{x+y+1}+\dfrac{yt}{y+t+1}+\dfrac{tx}{t+x+1}\right)^2$$

Theo Cauchy-Schwarz:

$$\dfrac{xy}{x+y+1}+\dfrac{yt}{y+t+1}+\dfrac{tx}{t+x+1}=\dfrac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}}+\dfrac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{t}+\frac{1}{yt}}+\dfrac{1}{\frac{1}{t}+\frac{1}{x}+\frac{1}{tx}}$$

$$\ge \dfrac{9}{2.3+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yt}+\frac{1}{tx}}\ge \dfrac{9}{6+\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2} \ge \dfrac{9}{6+3}=1$$

 

Vậy $\min P=1$ đạt được khi $x=y=z=1$.

Bạn ơi, sao có đoạn $P^{2}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{xy}{x+y+1})^{2}$ được nhỉ, với lại kết quả min P=1 đạt được khi x=y=z=1 cũng sai.

Vì khi thay x=y=z=1 thì P=@@..    

Mình làm luôn.

Không mất tính tổng quát ta chỉ cần chứng minh bđt trong trường hợp abc=1 là được$\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=\frac{a^{5}-a^{2}.abc}{a^{5}+(b^{2}+c^{2})abc}=\frac{a^{4}-a^{2}bc}{a^{4}+(b^{2}+c^{2}bc)}\geq \frac{2a^{4}-a^{2}(b{2}+c^{2})}{2a^{4}+(b^{2}+c^{2})^{2}}$

đặt $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$.Khi đó ta cần chứng minh:$\displaystyle{\sum \frac{2a^{2}-a(b+c)}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)(\frac{a}{2a^{2}+(b+c)^{2}}-\frac{b}{2b^{2}+(c+a)^{2}})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}.\frac{c^{2}+ac+bc+a^{2}+b^{2}-ab}{(2a^{2}+(b+c)^{2})(2b^{2}+(c+a)^{2})}\geq 0}$

(Luôn đúng theo S.O.S)

Thì $\frac{2n+16}{2n-5}=\frac{2n-5+21}{2n-5}=1+\frac{21}{2n-5}$ mà 1 là số tự nhiên nên để $\frac{2n+16}{2n-5}\in N$ thì $\frac{21}{2n-5}\in N$  

Xin làm câu 1 luôn :

Ta có : đặt $a=x^{n}y^{m}$ (x,y  là 2 số nguyên tố) .Theo bài ra ta sẽ có: $(n+1)(m+1)=6$. Nên ta sẽ tìm được $\left\{\begin{matrix} n=1 & \\ m=2 & \end{matrix}\right.$ và ngược lại.

Ta chỉ xét 1 trường hợp   $\left\{\begin{matrix} n=1 & \\ m=2 & \end{matrix}\right.$ ta có:

$A=xy^{2}$ nên theo bài ra$x+y+y^{2}+xy+xy^{2}+1=28\Leftrightarrow x+y+y^{2}+xy+xy^{2}=27\Rightarrow y^{2}<27\Rightarrow 1\leq y\leq 5$. đến đây chứng minh đã hoàn tất