Đến nội dung

LNH

LNH

Đăng ký: 16-12-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#529962 Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bình Định năm học 2014-2015

Gửi bởi LNH trong 22-10-2014 - 12:53

   SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                             KỲ THI CHỌN HSG TỈNH LỚP 12 THPT

                 BÌNH ĐỊNH                                                                       KHÓA NGÀY:22-10-2014

 

            ĐỀ CHÍNH THỨC                                Môn thi:               Toán

                                                                          Thời gian:             180 phút

                                                                          Ngày thi:              22/10/2014

                                                                          -----------------------------------------------

Bài 1: (4 điểm )

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2x+\frac{1}{x+y}=3\\ 4xy+4x^2+4y^2+\frac{3}{\left ( x+y \right )^2}=7 \end{matrix}\right.$

Bài 2: (4 điểm)

a)      Cho p là một số nguyên tố, k là một số nguyên dương. Một đường trong được chia thành p cung bằng nhau. Tiến hành tô các cung bằng k màu khác nhau ( mỗi cung được tô bằng một màu). Hai cách tô màu được coi là giống nhau nếu cách tô này sẽ thu được từ cách tô kia qua một phép quay với tâm là tâm của đường tròn. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu khác nhau? (Cách chứng minh định lí Fermat nhỏ bằng tổ hợp)

b)      Tìm tất cả các đa thức  thỏa mãn điều kiện: $P\left( x \right)=\sqrt{P\left( {{x}^{2}}+1 \right)-7}+6,\forall x\ge 0,P\left( 0 \right)=6$

Bài 3: (4 điểm)

Cho số thực . Xét dãy số  xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=a\\ x_{n+1}=1+ln\left ( \frac{x_n^2}{1+lnx_n} \right ) \end{matrix}\right.$ với n=1,2,…

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Với mỗi điểm M trong đường tròn ta gọi A’,B’,C’ lần lượt là giao điểm của AM,BM,CM với đường tròn. Tìm tập hợp các điểm M trong đường tròn thỏa mãn hệ thức sau:

$\frac{MA}{MA'}+\frac{MB}{MB'}+\frac{MC}{MC'}\le 3$

Bài 5: (4 điểm)

Cho 2 điểm cố định $A, B$ và điểm  di động trên mặt phẳng sao cho $\hat{ACB}=a \ (0<a<180)$ không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác $ABC$ xuống ba cạnh $AB,\ BC,\ CA$ lần lượt là $D,E,F$. $AI$ và $BI$ cắt $EF$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh độ dài $MN$ không đổi.
b) CM đường tròn $(DMN)$ luôn đi qua một điểm cố định.




#527176 Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc Gia tỉnh Thái Bình năm 2014-2015

Gửi bởi LNH trong 04-10-2014 - 20:58

Câu 4 :

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $S_{n}=\{1;2;...;n\}$. Phần tử $j$ của $S_n$ được gọi là điểm bất động của song ánh $p \, : \, S_n\to S_n $ nếu $p(j)=j$. Gọi $f(n)$ là số song ánh từ $S_{n}$ đến $S_{n}$ mà không có điểm bất động nào, $g(n)$ là số song ánh từ $S_{n}$ đến $S_{n}$ mà có đúng 1 điểm bất động. Chứng minh rằng : $$|f(n)-g(n)|=1\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$

 

Theo nguyên lí bao hàm-loại trừ, ta có:

$$f\left ( n \right )=n!\left ( 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-...+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n!} \right )$$

$g\left ( n \right )=nf\left ( n-1 \right )=n!\left ( 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-...+\frac{\left ( -1 \right )^{n-1}}{(n-1)!} \right )$

Vậy $\left | f\left ( n \right )-g\left ( n \right ) \right |=1$




#526290 Chọn đội dự tuyển VMO 2014-2015 tỉnh Đồng Nai

Gửi bởi LNH trong 26-09-2014 - 19:17

Câu 3 (5 điểm)

Cho $n \geq 3$ là một số nguyên dương. Chứng minh với $n$ điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng, sao cho trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số tam giác có đỉnh được lấy trong $n$ điểm đã cho và có diện tích bằng $1$ không lớn hơn $\dfrac{2}{3}(n^2-n)$.

 

Ta giải bài sau bằng đếm 2 cách

Xét $2$ điểm bất kì. Vì không có $3$ điểm nào thẳng hàng nên tồn tại nhiều nhất $4$ tam giác có diện tích bằng 1 nhận $2$ điểm được chọn làm đỉnh.

Vậy có nhiều nhất $\frac{4}{3}C_{n}^{2}=\frac{2}{3}\left ( n^2-n \right )$ tam giác có diện tích bằng $1$

=================

P/s: ước gì số với tổ cũng lên ngôi tại tỉnh t :'(




#525016 Đề thi Chọn Đội tuyển Dự thi HSG Quốc Gia Đà Nẵng 2014-2015

Gửi bởi LNH trong 17-09-2014 - 21:40

$\boxed{\text{Bài 6 (7đ)}}$

Với mỗi số nguyên dương n, gọi $f(n)$ là số cách thay các dấu $"\pm "$ trong biểu thức $\pm 1\pm 2\pm 3...\pm n$ bởi các dấu $"+"$ hoặc $"-"$ sao cho tổng đại số nhận được bằng 0. Chứng minh rằng:

a) $f(n)=0$ khi $n\equiv 1 (mod 4)$ hoặc $n\equiv 2 (mod 4)$

b)$2^{\frac{n}{2}-1}\leq f(n)<2^n-2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$ khi $n\equiv 0 (mod 4)$ hoặc $n\equiv 3 (mod 4)$

 

 

a) Nhận xét: Khi thay dấu cộng thành trừ (và ngược lại), tính chẵn lẻ của tổng không đổi.

Với $n\equiv 1;2\left ( mod 4 \right )$ thì tổng $1+2+...+n$ lẻ

Vì vậy, $f\left ( n \right )=0$ khi $n\equiv 1;2\left ( mod 4 \right )$

b) Chứng minh $f\left ( n \right )\geq 2^{\frac{n}{2}-1}$

Với $n=3$ và $n=4$, mệnh đề trên hiển nhiên đúng.

Ta chứng minh rằng nến $n$ đúng thì $n+4$ cũng đúng

Xét dấu của các số $n+1;n+2;n+3;n+4$:

Nếu ta đặt các dấu là $\left ( n+1 \right )-\left ( n+2 \right )-\left ( n+3 \right )+\left ( n+4 \right )$ hoặc $-\left ( n+1 \right )+\left ( n+2 \right )+\left ( n+3 \right )-\left ( n+4 \right )$ và các dấu còn lại đặt như các bộ $f\left ( n \right )$ thì ta có bộ mới thỏa yêu cầu đề bài.

Đối với các bộ thuộc $f\left ( n \right )$ có $-1$ thì ta đổi thành$+1$ rồi thêm $\left ( n+1 \right )-\left ( n+2 \right )+\left ( n+3 \right )-\left ( n+4 \right )$ thì có được bộ mới

Đối với các bộ thuộc $f\left ( n \right )$ có $+1$ thì ta đổi thành$-1$ rồi thêm $-\left ( n+1 \right )+\left ( n+2 \right )-\left ( n+3 \right )+\left ( n+4 \right )$ thì có được bộ mới

Đối với các bộ thuộc $f\left ( n \right )$ có $-2$ thì ta đổi thành$+2$ rồi thêm $\left ( n+1 \right )+\left ( n+2 \right )-\left ( n+3 \right )-\left ( n+4 \right )$ thì có được bộ mới

Đối với các bộ thuộc $f\left ( n \right )$ có $+2$ thì ta đổi thành$-2$ rồi thêm $-\left ( n+1 \right )-\left ( n+2 \right )+\left ( n+3 \right )+\left ( n+4 \right )$ thì có được bộ mới

Vậy $f\left ( n+4 \right )\geq 4f\left ( n \right )\geq 2^{\frac{n+4}{2}-1}$

Suy ra đpcm

Chứng minh $f\left ( n \right )<2^n-2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$

Gọi $g\left ( n \right )$ là số các bộ dấu sao cho tổng trên khác $0$

Ta cần chứng minh $g\left ( n \right )> 2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$

Chứng minh bằng qui nạp

Với $n=3$ và $n=4$ thì ta có mệnh đề trên đúng.

Ta chứng minh với $n$ đúng thì $n+4$ cũng đúng.

Xét dấu của các số $n+1;n+2;n+3;n+4$

Đối với các bộ thuộc $f\left ( n \right )$, ta đặt dấu các số $n+1;n+2;n+3;n+4$ để tổng đại số chúng khác $0$. Có $14$  cách đặt dấu cho mỗi bộ như vậy.

Đối với các bộ thuộc $g\left ( n \right )$, ta đặt dấu các số $n+1;n+2;n+3;n+4$ để tổng đại số chúng bằng $0$. Có $2$ cách đặt như vậy cho mỗi bộ

Suy ra $g\left ( n+4 \right )\geq 14f\left ( n \right )+2g\left ( n \right )>14.2^{\frac{n}{2}-1}+2.2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}>2^{\left [ \frac{n+4}{2} \right ]+1}$

Vậy ta có đpcm




#524995 Đề thi Chọn Đội tuyển Dự thi HSG Quốc Gia Đà Nẵng 2014-2015

Gửi bởi LNH trong 17-09-2014 - 20:06

$\boxed{\text{Bài 7 (6đ)}}$

 

Các ô vuông của một bảng vuông kích thước $10x10$ được tô bởi các màu trắng hoặc đen sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột đều có đúng 3 ô được tô màu đen. Chẳng hạn như hình vẽ :

                                                                                10644932_634592509991520_663527048267035

Chứng minh rằng trong mọi cách tô như vậy ta luôn có thể tìm ra 10 ô được tô màu đen sao cho không có hai ô nào nằm trên cùng một hàng hay trên cùng một hàng cột.

=======Hết=======

 

Ta xét đồ thị lưỡng phân $G=\left ( A,B,E \right )$, trong đó $A$ là tập hợp các đỉnh biểu thị các hàng, $B$ là tập hợp các đỉnh biểu thị các cột. Hai đỉnh được nối với nhau khi và chỉ khi hàng và cột tương ứng giao nhau tại một ô được tô màu.

Gọi $S\subset A$ là tập con các đỉnh thuộc $A$ và $N\left ( S \right )$ là tập hợp các đỉnh thuộc $B$ mà kề với một trong các đỉnh thuộc $S$

Số các ô đen của các hàng có đỉnh thuộc $S$ là $3\left | S \right |$

Vì mỗi cột chứa $3$ ô đen nên $\left | N\left ( S \right ) \right |\geq \left | S \right |$

Theo tiêu chuẩn Hall thì tồn tại một ghép cặp hoàn hảo từ $A$ đến $B$, suy ra đpcm.




#523002 Hỏi BQT đặt sai tiêu đề của Huong TH Phan

Gửi bởi LNH trong 05-09-2014 - 21:42

Đầu tiên mình chân thành xin lỗi bạn Huong TH Phan

Mình nhận được báo cáo của bạn buiminhhieu về việc topic đó bị đặt sai box và đã nhắc nhở mà không xem bài viết đó ở trong box nào :P

Sau đó mình nhận thấy bài này hoàn toàn đúng box nên đã mở topic trở lại

Còn chuyện gỡ điểm nhắc nhở thì mình đã nhờ admin Ispectorgadget và mình nghĩ bạn sẽ sớm trở lại diễn đàn được thôi ( có thể trong vài giờ tới :)) )

Chân thành xin lỗi :(

Hình gửi kèm

  • Capture.PNG



#522317 $\left | \left \{ \left ( x,y \right )...

Gửi bởi LNH trong 01-09-2014 - 20:27

Cho $n$ là số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng:

$\left | \left \{ \left ( x,y \right )  \in \mathbb{Z}^2 \mid x^2+y^2=n \right \} \right |=4\left ( d_1\left ( n \right )-d_3\left ( n \right ) \right )$

($d_i\left ( n \right )$ là số các ước dương của $n$ đồng dư với $i$ mod $4$ )




#519648 Tìm số nguyên dương $M$ nhỏ nhất

Gửi bởi LNH trong 15-08-2014 - 13:20

Cho $m$ có ước nguyên tố lớn hơn $\sqrt{2m}+1$. Tìm số nguyên dương $M$ nhỏ nhất sao cho tồn tại $T$ là tập hữu hạn các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn:

(i) $m$ và $M$ lần lượt là các phần tử nhỏ nhất và lớn nhất thuộc $T$

(ii) Tích các phần tử của $T$ là số chính phương




#513484 Trường Hè Toán Học 2014-Đề Kiểm Tra Chất Lượng

Gửi bởi LNH trong 17-07-2014 - 20:26

$\boxed{\text{Bài 5}}$ Các số $1,2,...,n^2$ được điền vào bảng kích thước nxn theo cách như hình vẽ bên dưới. Ta xóa đi n số từ bảng, sao cho không có hai số nào được xóa cùng hàng cũng như không có hai số nào được xóa cùng cốt. Tìm Tổng các số còn lại của bảng

10513457_600036626780442_315388916248008

 

Gọi $a_1,...,a_n$ là các số được xoá sao cho $a_i$ thuộc hàng thứ $i$

Vì $(i-1)n+1 \leq a_i \leq in$ nên nếu ta đặt $b_i=a_i-(i-1)n$, ta có $1 \leq b_i \leq n$

Vì các số được xoá không nằm cùng cột nên $a_i$ không đồng dư với $a_j$ mod $n$, với mọi $i \neq j$

Suy ra $b_i \neq b_j$

Vậy $b_1,...,b_n$ chính là hoán vị của các số $1,2,...,n$

Như vậy tổng $b_1+...+b_n=1+...+n=\frac{n^2+n}{2}$

$a_1+...+a_n=\frac{n\left ( n^2+1 \right )}{2}$

Tổng các số còn lại là: $\frac{n^2\left ( n^2+1 \right )-n\left ( n^2+1 \right )}{2}=\frac{n^4-n^3+n^2-n}{2}$




#513191 $C_n^k$ lẻ với mọi $k \in \left\{ {1,2,...,n}...

Gửi bởi LNH trong 16-07-2014 - 16:31

Cmr : \[C_n^k \] lẻ với mọi k\[ \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}\] khi và chỉ khi n có dạng \[n = 2^m  - 1\]

Theo định lý Kummer, luỹ thừa của $2$ trong $C^k_n$ bằng số lần nhớ trong phép tính $n-k$ trong hệ cơ số $2$

Nếu $n=2^m-1$ thì $n=\overline{11..1}_2$ thì $n-k$ sẽ không có lần nhớ nào nên $C^k_n$ lẻ với mọi $k \leq n$

Nếu $n \neq 2^m-1$ thì trong biểu diễn nhị phân của $n$ có ít nhất một số $0$, vì vậy tồn tại $k \leq n$ để $n-k$ có ít nhất một lần nhớ, suy ra tồn tại $C^k_n$ chẵn

Ta có đpcm




#512776 Bất kì $k$ số liên tiếp nào trong dãy $\left ( a_n \...

Gửi bởi LNH trong 14-07-2014 - 16:47

$a_n$ là chữ số đầu tiên bên trái của số $2^n$, $b_n$ là chữ số đầu tiên bên trái của số $5^n$. Chứng minh rằng: bất kì $k$ số liên tiếp nào trong dãy $\left ( a_n \right )$ đều xuất hiện trong $k$ số liên tiếp của dãy $\left ( b_n \right )$




#511781 một bài tổ hợp sử dụng định lí thặng dư trung hoa

Gửi bởi LNH trong 09-07-2014 - 05:03

ta gọi một tập hợp các số nguyên dương C la tốt nếu với mọi số nguyên dương k tồn tại hai số a,b phân biệt trong C sao cho (a+k,b+k)>1 giả sử một tập tốt có tổng các phần tử là 2003.Cmr ta có thể loại một phần tử trong C sao cho tập còn lại vẫn tốt

Ta chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề : $C$ là tập tốt khi và chỉ khi tồn tại  là số nguyên tố sao cho với mọi $i=\overline{0,p-1}$ , tồn tại $a,b\in C$, $a\equiv b\equiv i\left( \bmod p \right)$

Chứng minh :

Ta chứng minh phần đảo trước.

Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\forall i=\overline{0,p-1}$ ,$\exists {{a}_{i}},{{b}_{i}}\in C$ sao cho ${{a}_{i}}\equiv {{b}_{i}}\equiv i\left( \text{mod p} \right)$

$\forall k\equiv s\left( \text{mod p} \right)$ ,$s\in \left\{ 0,...,p-1 \right\}$ , đặt $a={{a}_{p-s}},b={{b}_{p-s}}$

Ta có : $\left( a+k,b+k \right)\vdots p\Rightarrow \left( a+k,b+k \right)>1$

Vậy $C$ là tập tốt

Ta chứng minh chiều ngược lại

Giả sử tồn tại tập tốt $C$ không thoả mãn điều kiện trên

Gọi $d$ là khoảng cách lớn nhất giữa $2$ phần tử trong $C$

Xét dãy số nguyên tố liên tiếp :

$2={{p}_{1}}<{{p}_{2}}<...<{{p}_{t}}\le d<{{p}_{t+1}}<...$

$\forall i=\overline{1,t}$ ,$\exists {{r}_{i}}$ trong hệ thặng dư đầy đủ modulo $p$ sao cho có nhiều nhất một phần tử thuộc $C$ đồng dư với $r_i$ modulo $p$.

Xét hệ phương trình đồng dư sau :

$x\equiv {{r}_{i}}\left( \text{mod }{{\text{p}}_{i}} \right)$ ,$\forall i=\overline{1,t}$

Theo định lí thặng dư Trung Hoa, tồn tại $k$ là nghiệm của hệ trên.

Xét $\left( a+k,b+k \right)$ ($a,b\in C$ )

Giả sử $a>b$

$\left( a+k,b+k \right)=\left( a-b,a+k \right)=1$ (vô lí) (vì $a+k$ không chia hết cho ,$\forall i=\overline{1,t}$ còn $a-b<p_{t+1}$

Suy ra đpcm

Quay lại bài toán:

Vì $C$ là tập tốt nên tồn tại số nguyên tố $p$ thoả mãn $\exists {{a}_{i}},{{b}_{i}}\in C,{{a}_{i}}\equiv {{b}_{i}}\equiv i\left( \text{mod p} \right)$ ,$\forall i=\overline{0,p-1}$

Xét $S=\sum\limits_{i=0}^{p-1}{{{a}_{i}}}+\sum\limits_{i=0}^{p-1}{{{b}_{i}}\equiv 2\left( 0+1+...+p-1 \right)\equiv p\left( p-1 \right)}\equiv 0\left( \text{mod p} \right)$

Dễ thấy $p<2003$

Vì $2003$ là số nguyên tố, $2003\ne S$

Suy ra tồn tại ít nhất một phần tử $a\in C,a\notin \left\{ {{a}_{i}},{{b}_{i}}\left| i=\overline{0,p-1} \right. \right\}$

Vậy tập $C-\left\{ a \right\}$ là tập tốt (đpcm)




#509858 Có bao nhiêu cách xếp $n$ cặp vợ chồng ngồi vào $2n$ chiế...

Gửi bởi LNH trong 29-06-2014 - 19:18

http://diendantoanho...gồi-kề-chồng-c/

bạn vào đây xem sao nhé :)

Hai bài này khác nhau nhé bạn ;)




#509828 Có bao nhiêu cách xếp $n$ cặp vợ chồng ngồi vào $2n$ chiế...

Gửi bởi LNH trong 29-06-2014 - 16:47

gọi vị trí những nguoi dan ong : x1,  x2,..... xn

                                   phu nu   :y1, y2,....yn

 ban đầu ta có vị trí ngồi mà phụ nữ cạnh chồng : x1y1x2y2......xnyn. Ta tịnh tiến các vị trí của y :  yny1y2.....yn-1

                                                                                                                                                                                                         yn-1y1y2......yn-2

                                                                                                                                                                                                        ...............................

vậy có n-1 cánh xếp

Bạn giải sai rồi nhé :)

Đáp số đúng là : $2n!\left [ n!-\sum_{i=1}^{n}\left ( -1 \right )^{i+1}\frac{2n}{2n-i}C_{2n-i}^{i}\left ( n-i \right )! \right ]$




#509704 Topic về tổ hợp, các bài toán về tổ hợp

Gửi bởi LNH trong 28-06-2014 - 21:59

Bài 43: Cho bảng ô vuông $n \times n$ được tô bằng $2$ màu trắng và đen. Giả sử tồn tại tập $A$ khác rỗng gồm các hàng sao cho bất kì cột nào cũng chứa một số chẵn ô trắng thuộc $A$. Chứng minh rằng: Tồn tại tập $B$ khác rỗng gồm các cột sao cho bất kì hàng nào đều có số chẵn ô trắng thuộc $B$.