LNH

Bài 40: Cho $A$ là tập gồm $n$ phần tử, $A_1,...,A_m$ là các tập con có $3$ phần tử thoả mãn $\left | A_i \cap A_j \right |\leq 1, \forall i \neq j$. Chứng minh rằng: $\exists T \subset A$ thoả mãn: $\overline{\exists }$ $i$ sao cho $A_i\subseteq T,\left | T \right |\geq \left \lfloor \sqrt{2n} \right \rfloor$

Bài 41: Cho một bảng hình chữ nhật kích thước $2\times n$. Mỗi ô ta viết một số thực dương sao cho tổng $2$ số ở cùng cột đều bằng $1$. Chứng minh rằng: ta có thể bỏ mỗi cột một số sao cho tổng các số còn lại ở cùng một hàng không quá $\frac{n+1}{4}$

Cho $n \in \mathbb{N},n\geq 2$. Người ta xếp xung quanh $1$ chiếc bàn tròn theo chiều kim đồng hồ $2n$ chiếc ghế $g_{1},...,g_{2n}$. Hỏi có bao nhiêu cách xếp $n$ cặp vợ chồng ngồi vào $2n$ chiếc ghế thoả mãn:

i) Chồng không ngồi kề vợ.

ii) Hai người cùng giới không ngồi kề nhau.

$A$ là tập hợp các vectơ trong không gian $n$ chiều trên tập $\mathbb{Z}_3$ thoả mãn với mọi vectơ phân biệt $a,b \in A$, tồn tại toạ độ $i$ sao cho $b_i \equiv a_i+1\left ( mod 3 \right )$. Chứng minh rằng: $\left | A \right |\leq 2^n$

Lâu quá không đăng, topic đóng bụi dày cộm rồi

Bài 38: Gọi $f\left ( a,b,c \right )$ là số các cách để điền vão các ô trong bảng $a\times b$ bằng các số trong $\left \{ 1;2;...;c \right \}$ sao cho trong bất kì ô nào, số nằm trong ô đó đều lớn hơn hoặc bằng số ở ô trên nó và số ở ô bên trái nó. Chứng minh rằng: $f\left ( a,b,c \right )=f\left ( c-1,a,b+1 \right )$

Bài 39: Đặt $21$ điểm trên đường tròn. Chứng minh rằng: có ít nhất $100$ cặp điểm tạo ra cung nhỏ hơn hoặc bằng $120^0$

Bài 64: Chứng minh rằng các phần tử trong tập $\mathbb{N}$ có thể tô bằng $2$ màu thoả mãn điều kiện sau:

(i) Với mọi số nguyên tố $p$ và số tự nhiên $n$, các số $p^{n},p^{n+1},p^{n+2}$ không cùng một màu

(ii) Không tồn tại một dãy cấp số nhân vô hạn được tô cùng một màu

Bài 65: Chứng minh rằng: $\forall n \in \mathbb{Z}^+$, $n! \mid \prod_{k=0}^{n-1}\left ( 2^n-2^k \right )$

k phải tst,mà là imo shortlist hay sao day :v.hoặc bạn tìm ở vnmath.com có tài liệu "mot so bai toan so hoc lien quan den luy thua" cua pham van quoc

 

Bài toán IMO SL 2003 mà bạn nói là chứng minh tồn tại, còn bài trên là chứng minh vô hạn. Hai cái đó khác nhau nhé bạn

Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố $q$ sao cho với mọi số tự nhiên $n$, $n^p-p \not {\vdots} q$

không có đâu anh,nguyên thcs có đâu

 

Có trong cuốn này nè em

http://www.nhasachtr...o-hoc-tap-1.htm

 

THCS có dùng tổ hợp chập không anh!

 

Anh thấy mấy công thức tổ hợp chập có trong tài liệu chuyên toán lớp 6 đó em

Câu IV:
Cho tập hợp $A$ gồm 31 phần tử và dãy gồm $m$ tập hợp con của $A$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) mỗi tập thuộc dãy $m$ có ít nhất 2 phần tử
ii) nếu hai tập thuộc dãy có chung nhau ít nhất 2 phần tử thì số phần tử của hai tập này khác nhau.
CMR $m\leq 900$

 

 

Nhận xét: số tập con của $A$ thuộc dãy có $n$ phần tử không quá
$\left \lceil \frac{C_{31}^{n}}{C_{29}^{n-2}} \right \rceil$
Ta chứng minh nhận xét trên bằng nguyên lý Dirichlet
Như vậy, ta có:
$m \leq \sum_{n=2}^{31}\left \lceil \frac{C_{31}^{n}}{C_{29}^{n-2}} \right \rceil=900$
Suy ra đpcm

Cho ba số thực dương $a,b,c$ thoả mãn: $\left \lfloor an \right \rfloor+\left \lfloor bn \right \rfloor=\left \lfloor cn \right \rfloor$

với mọi số tự nhiên $n$

Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba số $a,b,c$ là số nguyên.

Cho hai đường tròn $(O), (I)$ và dây $AB$ của $(O)$ sao cho $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc với $AB$.
Hãy dựng đường tròn $(J)$ sao cho $(J)$ tiếp xúc trong với $(O)$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ và tiếp xúc với $AB$.

Ta giải bài này như sau:

Bổ đề 1: Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây cung $AB$. Đường tròn tâm $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại $C$ và tiếp xúc $AB$ tại $D$. Khi đó, $CD$ đi qua trung điểm $M$ của cung $AB$ không chứ $C$

Chứng minh:

Ta có: $\frac{CI}{CO}=\frac{ID}{OM}$

Theo hệ quả của định lí Thales, ta có $ID \parallel OM$

Mà $ID \perp AB$

Suy ra $OM \perp AB$ hay $M$ là trung điểm cung $AB$

Bổ đề 2: (Định lí Monge) Cho ba đường tròn $(I)$, $(J)$, $(K)$. Khi đó, ba tâm vị tự ngoài của hai trong ba đường tròn trên thẳng hàng

Việc chứng minh định lí trên khá đơn giản bằng Menelaus

Quay lại bài toán:

Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $(J)$ nằm khác phía với $(I)$ bờ $AB$

$(I)$ và $(J)$ tiếp xúc ngoài nên sẽ có một tiếp tuyến chung trong

Vì $(I)$ và $(J)$ đều tiếp xúc $AB$ và nằm khác phía với $AB$ nên $AB$ là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn trên

Vậy $(J)$ cũng tiếp xúc $AB$ tại $D$

Gọi tiếp điểm của $(J)$ với $(O)$ là $E$, trung điểm cung $AB$ không chứa $E$ là $F$

Theo bổ đề 1, $E,F,D$ thẳng hàng

Vì vậy, ta có cách dựng sau:

$CD$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $C$

$MO$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $M$

$FD$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $F$

Dựng đường trung trực của $ED$ cắt $OE$ tại $J$

Vẽ đường tròn tâm $J$ bán kính $JE$

Đây chính là đường tròn cần dựng

Trường hợp 2: $(J)$ nằm cùng phía với $(I)$ bờ $AB$

Gọi tiếp điểm của $(J)$ với $(O)$ và $AB$ là $E,H$, giao điểm của $IJ$ với $AB$ là $K$

Áp dụng bổ đề 2 cho ba đường tròn $(O)$, $(I)$, $(J)$, ta có $K,C,E$ thẳng hàng

Mặt khác, vì $M$ nằm trên trục đẳng phương của $(I)$ và $(J)$ (có thể chứng minh tứ giác $CDHE$ nội tiếp bằng biến đổi góc) nên nếu ta kẻ tiếp tuyến $MG$ của $(I)$, ta có $G$ cũng là tiếp điểm của $(J)$ khi tiếp xúc với $(I)$

Suy ra $I,G,K$ thẳng hàng

Như vậy điểm $K$ hoàn toàn có thể dựng được, từ đây ta có cách dựng sau:

Dựng trung điểm của $MI$

Vẽ đường tròn đường kính $MI$ cắt $(I)$ tại $G,T$

Dựng $K$ là giao điểm của $IG$ với $AB$

$KC$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $C$

$ME$ cắt $AB$ tại $H$

Dựng đường trung trực của $HE$ cắt $OE$ tại $J$

Vẽ đường tròn $(J)$ bán kính $JE$

Đây chính là đường tròn cần dựng

Biện luận:

Ở trường hợp 1, vì các điểm xác định duy nhất nên ta có một nghiệm hình

Ở trường hợp 2, ta có 2 giao điểm của đường tròn đường kính $MI$ với $(I)$ nên có hai nghiệm hình

Kết luận:

Có thể dựng được ba đường tròn $(J)$ thoả mãn ycđb

Gửi BQT em gợi ý làm câu C cho 1 bạn ở link:http://diendantoanho...-7/#entry496971

Nhưng lại bị bạn Buiminhhieu nhắc nhở do trả lời top pic vi phạm trong khi trc đó top pic chưa vi phạm.

Đây có phải là hành động lợi dụng chức quyền

@JokerLegend:

Về điều này thì lỗi sai thuộc về bạn rồi

Bạn cần phải đọc các nội quy trên diễn đàn trước khi đăng bài để không bị nhắc nhở

Có việc gì thì inbox hỏi ĐHV về việc nhắc nhở để họ chỉ ra những lỗi của bạn, chứ tại sao lại lên đây nói những lời lẽ khiếm nhã như thế nhỉ (bạn cũng lớp 10 rồi chứ có ít ỏi gì đâu)

Bạn nên sửa đổi nếu tiếp tục đóng góp cho VMF

@VietHoang99:

Em năng nổ, hoạt động tích cực thế là tốt, nhưng cần phải chú ý bớt nóng tính một chút đi nhé

Anh cũng đính chính việc 3 điểm nhắc nhở mà bạn JokerLegend nói ở trên

Ở đây ngoài 2 điểm là lỗi của bạn ấy còn một điểm mà theo anh cũng không thoả đáng như sau:

Anh biết em không đồng tình với bạn JokerLegend, nhưng hình như em đã đi xa so với quyền hành của em rồi đấy (ĐHV THCS chỉ có quyền nhắc nhở trong box THCS thôi nhỉ ), còn bên này là thuộc quyền quản lí của ĐHV Tổng Hợp

Anh góp ý thế thôi, nhưng có lẽ em đã hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình rồi

Mong 2 bạn có thế sửa đổi để phát triển VMF hơn

p/s: bài viết của Hoàng Cậu đâu rồi?

 

Lâu ngày không lên diễn đàn lũ lẫn mất rồi

 

 thêm nút Tag góc bên trên cho nó hay, nhắn tin thì ....

..... thà ra facebook còn nhanh hơn ( cài mathjax latex nữa là ổn )

"Lâu ngày không lên diễn đàn lú lẫn mất rồi": Tên các box và các bài toán của diễn đàn đều được viết bằng tiếng VIệt, vì vậy nếu em không thấy rõ hoặc không đọc được chứng tỏ em không biết tiếng Việt hoặc mắt bị mờ (nếu mắt yếu thì hạn chế tiếp xúc với máy vi tính, nếu không sẽ dẫn đến mù loà)

Nếu muốn biết bài viết của một người nào đó, chức năm tìm kiếm trên diễn đàn không thừa đâu nhé

Anh nghĩ diễn đàn và trang mạng xã hội khác nhau hoàn toàn, và facebook sẽ không bao giờ thay thế vai trò của diễn đàn được, đừng hoà tan hai cái này nhé

Đây là một bài toán rất hay , sẽ không khó với nhừng ai đã quen với khái niệm sum set và nhất là định lí Cauchy Davenport

Bài toán:Cho G là một đồ thị đầy đủ trên $1000p$ dỉnh ($p$ nguyên tố ), các cạnh được đánh dấu bởi các số nguyên .CM có một chu trình mà tổng các số được đánh dấu chia hết cho $p$

Đúng là nếu biết định lí Cauchy-Davenport thì sẽ giải quyết bài này trong một nốt nhạc

Xét $p-1$ $K_3$ thoả mãn tính chất sau:

Ta gọi các đỉnh của $K_3$ thứ $i$ là $e_i,v_i,u_i$

$e_iv_i+e_iu_i \not \equiv v_iu_i$, $\forall i=\overline{1,p-1}$

$v_i\equiv u_{i+1}$, $\forall i=\overline{1,p-1}$, $u_p \equiv u_1$

Gọi $A_i=\left \{ e_iv_i+e_iu_i;v_iu_i \right \}$

Theo định lí Cauchy-Davenport, $A_1+A_2$ có ít nhất $min\left \{ \left | A_1 \right |+\left | A_2 \right |-1;p \right \}$ phần tử đôi một không đồng dư mod $p$

Bằng quy nạp, ta có $A_1+A_2+...+A_{p-1}$ có ít nhất $min\left \{ \left | A_1 \right |+\left | A_2 \right |+...+\left | A_{p-1} \right |-p+2;p \right \}$ phần tử đôi một không đồng dư mod $p$

$\left | A_1 \right |+\left | A_2 \right |+...+\left | A_{p-1} \right |-p+2=3\left ( p-1 \right )-p+2=2p-1>p$

Vì vậy, tồn tại một chu trình có tổng các số trên các cạnh chia hết cho $p$