LNH

Một tài liệu hay và bổ ích

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $1+{{4}^{x}}+{{4}^{y}}={{z}^{2}}$

Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Kí hiệu A = {1, 2, …, n}. Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng của các phần tử của B là 1 số nguyên. Gọi T_n là số các tập tốt của tập A. Chứng minh rằng T_n – n là 1 số chẵn.

Mua sách tại gbook.com cũng được lắm đấy

http://www.scribd.co...i-So-Doan-Quynh

[Paul_Zeitz]_The_Art_and_Craft_of_Problem_Solving

Bài hệ thì ta chứng minh $x=-y$ rồi thay vào PT thứ 2

Bài IV: Vì $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên nên $P\left( 19 \right)-a\vdots 19$ và $P\left( 5 \right)-a\vdots 5$

$\Rightarrow 2013-a\vdots 19$ và $ 2013-a\vdots 5$

Đến đây thì dễ rồi

a) Hệ thức lượng trong tam giác

b) ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC$

${{S}_{ABD}}=\frac{1}{2}\sin {{45}^{0}}AB.AD$

${{S}_{ACD}}=\frac{1}{2}\sin {{45}^{0}}AC.AD$

${{S}_{ABC}}={{S}_{ABD}}+{{S}_{ACD}}$

$\Rightarrow AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{2}AD\left( AB+AC \right)\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Laszlo_Lovasz_Combinatorial_problems_and_exercises

Cho tam giác ABC có góc B không nhọn. Chứng minh rằng : 

$\frac{1}{BC}+\frac{2\sqrt{2}}{BA}\ge \frac{3\sqrt{3}}{CA}$

Cho các số nguyên dương n và d với d | n. Gọi S là tập hợp các bộ n số 0 ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n ≤ n sao cho d | x₁ + x₂ + ... +x_n. Chứng minh rằng đúng một nửa số phần tử của S có tính chất x_n = n.

Cho 4 số thực $a,b,c,d$ sao cho ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\le 1$

Tìm max của \[F={{\left( a+b \right)}^{4}}+{{\left( a+c \right)}^{4}}+{{\left( a+d \right)}^{4}}+{{\left( b+c \right)}^{4}}+{{\left( b+d \right)}^{4}}+{{\left( c+d \right)}^{4}}\]

Ta xét 4 cặp $(P;P), (P;F), (F;P), (F;F)$.

Nhận thấy rằng kết quả của thí sinh chính là hoán vị của 4 cặp trên

Vì kết quả của thí sinh đôi một khác nhau nên GTLN là $4!=24$ thí sinh

Anh có thể giúp em mua cuốn AoPS volume 2 và cuốn Problem-Solving Methods in Combinatorics: An Approach to Olympiad Problems được không?

Em thích mua nhưng đắt quá