LNH

Bài làm của MSS50-lenhathoang1998
a) CM: $MP\parallel NB,MB\parallel NQ$
$MN$ kéo dài cắt $OO’$ tại $F$ ( THiếu TH $MN$ song song với $OO'$)
$FA$ cắt $\left( O \right)$, $\left( O \right)$ lần lượt tại $S$ và $R$
Tia $BA$ cắt $OO’$, $MN$ lần lượt tại $C$ và $J$.
Đầu tiên, ta chứng minh $\angle PMB=\angle BNQ=\frac{1}{2}\angle HAK$
Ta có: $\angle PMB=\angle PAB$, $\angle BNQ=\angle BAQ$
${{JM}^{2}}=JA\times JB$
$J{{N}^{2}}=JA\times JB$ ( nên rõ ràng chút)
$\Rightarrow JM=JN$
Mặt khác, $MH \parallel JC \parallel NK$
$\Rightarrow CH=CK$
$\Rightarrow \vartriangle AHK$ cân tại $A$ ($AC$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao)
$\Rightarrow \angle HAB=\angle BAK$
$\Rightarrow \angle PMB=\angle BNQ=\frac{1}{2}\angle HAK$
$F{{M}^{2}}=FH\times FO$ (\[\vartriangle FMO\] vuông tại $M$)
$F{{M}^{2}}=FA\times FS$ ($FM$ là tiếp tuyến của $(O)$)
$\Rightarrow FA\times FS=FH\times FO$
$\Rightarrow \vartriangle FAH$đồng dạng với $\vartriangle FOS$ (c.g.c)
$\Rightarrow \angle AHK=\angle FSO=\angle OAS$
Tương tự, $\angle AKH=\angle OAR$
$\Rightarrow 180{}^\circ -\angle AHK-\angle AKH=180{}^\circ -\angle OAS-\angle OAR$
$\Rightarrow \angle OAO'=\angle HAK$
$\angle OAO'=\angle OAC+\angle O'AC=180{}^\circ -\angle AOC-\angle AO'C=\angle MOA+\angle NOA=2(\angle MBA+\angle ABN)=2\angle MBN$
$\Rightarrow \angle PMB=\angle MBN=\angle BNQ$
Vậy $MP\parallel NB,MB\parallel NQ$
b) CM $MNQP$ là tứ giác nội tiếp
$\angle MBP=\angle PMx=\angle BNM=\angle BQN$ (với $Mx$ là tia tiếp tuyến của $(O)$)
Lại có $\angle MBQ+\ angle BQN=180 { }^\circ $
$\Rightarrow \angle MBP+\angle MBQ=180{}^\circ $
$\Rightarrow P,B,Q$ thẳng hàng
$\angle MBP=\angle PMx$
$\angle PMx+\angle PMN=180{}^\circ $
$\Rightarrow \angle MBP+\angle PMN={{180}^{{}^\circ }}$
$\Rightarrow \angle NQB+\angle PMN={{180}^{{}^\circ }}$
Vậy $MNQP$ là tứ giác nội tiếp

____________________

@Joker: Lời giải về cơ bản là đúng. Thiếu 1 TH nhỏ

d=9

 

S = 5 + 9*3 = 32

Giúp mình bài này với
Tìm số tự nhiên n sao cho
$\varphi ({{n}^{2}}+1)=6n$

286

5 giai thừa nhân hai mũ 5 chia 5

62 độ

Bài làm của MSS50-lenhathoang1998
Đầu tiên, ta chứng minh bất đẳng thức AM-GM n biến:
Xem trên http://vi.wikipedia....ẳng_thức_Cauchy
Trở lại bài toán:
Ta có:
$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ge \frac{a+b}{\sqrt{2}}\ge \frac{2a}{\sqrt{2}}$ (Áp dụng BDT Cauchy-Schwatrz 2 biến và dữ kiện $a\le b$)
$\sqrt{{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}}\ge \frac{c+2b}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\ge \frac{2a+2b+c}{\sqrt{3}}$ (Áp dụng BDT Cauchy-Schwatrz 3 biến)
${{a}^{4}}+3\ge 4a$ (AM-GM 4 biến)
${{b}^{3}}+b+2\ge 4b$ (AM-GM 4 biến)
${{c}^{2}}-2c+4\ge 2c$ (BDT tương đương ${{(c-2)}^{2}}\ge 0$ )
$\Rightarrow P\ge \frac{2a}{\sqrt{2}}+\frac{2b+c}{\sqrt{2}}+\frac{2a+2b+c}{\sqrt{3}}+4a+4b+c-3-2-4\ge \frac{6}{\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{3}}+12-3-2-4=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+3$ ( Phải là $4a+4b+2c$)
$\Rightarrow \min P=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+3$
Khi đó:
$a=b=1$
$c=2$
________________________________________________--
@Joker: Lời giải có đáp số đúng, tương đối chính xác. Có $1$ chỗ viết nhầm. BDT AM-GM có lẽ không cần chứng minh lại
Chấm điểm : d=9.

S = 13 + 3*9 = 40

Bài toán : Cho $p$ là số nguyên tố và $a$ là số nguyên dương. Ta chia đường tròn thành $p$ cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô các cung bằng $a$ màu?(Hai cách tô có thể thu được từ nhau qua phép quay được coi là giống nhau)
Các bài toán tương tự:
Bài toán 1:Cho $p,q$ là số nguyên tố và $a$ là số nguyên dương. Ta chia đường tròn thành $pq$ cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô các cung bằng $a$ màu?(Hai cách tô có thể thu được từ nhau qua phép quay được coi là giống nhau)
Bài toán 2:(VMO 2010)Cho bảng $3*3$ và $n$ là một số nguyên dương cho trước. Tìm các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi một trong $n$ màu(Hai cách tô có thể thu được từ nhau qua phép quay được coi là giống nhau)
Bài toán tổng quát:
Bài toán 1:
Cho $p_1,p_2,p_3,...,p_n$ là số nguyên tố và a là số nguyên dương. Ta chia đường tròn thành $p_1p_2p_n$ cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô các cung bằng a màu?(Hai cách tô có thể thu được từ nhau qua phép quay được coi là giống nhau)
Bài toán 2:
Cho $n$ và $a$ là số nguyên dương. Ta chia đường tròn thành $n$ cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô các cung bằng $a$ màu?(Hai cách tô có thể thu được từ nhau qua phép quay được coi là giống nhau)
Bài toán 3:(Mở rộng từ bài VMO 2010):
Cho bảng $k*k$ và $n$ là một số nguyên dương cho trước. Tìm các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi một trong $n$ màu(Hai cách tô có thể thu được từ nhau qua phép quay được coi là giống nhau)
(Đây là bài thứ 16 của mình, không biết số 6 có hên như anh BoFaKe nói không nhỉ)

1) EBCI là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle IEC=\angle IBC=\angle IDH$
Tương tự $\angle IGH=\angle IDH$
Suy ra đpcm.
2) a)\[\text{AM}.\text{AB}=\text{AN}.\text{AC}=A{{H}^{2}}\]
b)Đây là định lý Ptolemy

Mình có 2 quyển hình học hay của ông này muốn gửi đến các bạn VMF.

Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thoả mãn $ab=cd$. Chứng minh rằng $A=a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số $\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$

Gọi $(a,c)=k\Rightarrow a=k\times {{a}_{1}},c=k\times {{c}_{1}}$ với $({{a}_{1}},{{c}_{1}})=1$.
$\begin{align}
& \Rightarrow k.{{a}_{1}}.b=k.{{c}_{1}}.d \\
& \Leftrightarrow {{a}_{1}}.b={{c}_{1}}.d \\
\end{align}$
Vì $({{a}_{1}},{{c}_{1}})=1$ nên $b\vdots {{c}_{1}}\Rightarrow b={{c}_{1}}.h$
$\Leftrightarrow d=h.{{a}_{1}}$
$\begin{align}
& \Rightarrow {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}}+{{d}^{n}}={{(k.{{a}_{1}})}^{n}}+{{(h.{{c}_{1}})}^{n}}+{{(k.{{c}_{1}})}^{n}}+{{(h.{{a}_{1}})}^{n}} \\
& =({{k}^{n}}+{{h}^{n}})(a_{1}^{n}+c_{1}^{n}) \\
\end{align}$
Suy ra đpcm

Năm mới sắp đến , mình gửi một số tài liệu hình học mà mình lượm lặt được tặng cho diễn đàn. Mong VMF của chúng ta hoạt động ngày càng mạnh hơn vào năm 2013 .
(Chắc đây là bài cuối cùng của 2012 rồi )

Giúp mình bài này với:
$\begin{matrix}
{{(x+y)}^{2}}+y=3 \\
2({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy)+x=5 \\
\end{matrix}\text{ }$