Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


LNH

Đăng ký: 16-12-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Chủ đề của tôi gửi

$n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \ri...

18-05-2015 - 20:55

$\boxed{\text{Problem 2}}$ (Balkan MO 2015)

Chứng minh rằng trong $20$ số nguyên dương liên tiếp có một số nguyên dương $d$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, bất đẳng thức sau đúng:

$n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \right \}>\frac{5}{2}$


Chứng minh rằng: $\left | S_1 \right |-\left | S_2 \right |...

19-02-2015 - 00:00

Cho $k$ là số nguyên dương chẵn. $N$ là tích của $k$ số nguyên tố phân biệt $p_1,...,p_k$.  $a,b$ là hai số nguyên dương phân biệt sao cho $a \leq b \leq N$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là hai tập thỏa mãn:$ S_1=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố chẵn $\}$, $ S_2=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố lẻ $\}$. Chứng minh rằng: $\left | S_1 \right |-\left | S_2 \right |\leq C_{k}^{\frac{k}{2}}$


Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bình Định năm học 2014-2015

22-10-2014 - 12:53

   SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                             KỲ THI CHỌN HSG TỈNH LỚP 12 THPT

                 BÌNH ĐỊNH                                                                       KHÓA NGÀY:22-10-2014

 

            ĐỀ CHÍNH THỨC                                Môn thi:               Toán

                                                                          Thời gian:             180 phút

                                                                          Ngày thi:              22/10/2014

                                                                          -----------------------------------------------

Bài 1: (4 điểm )

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2x+\frac{1}{x+y}=3\\ 4xy+4x^2+4y^2+\frac{3}{\left ( x+y \right )^2}=7 \end{matrix}\right.$

Bài 2: (4 điểm)

a)      Cho p là một số nguyên tố, k là một số nguyên dương. Một đường trong được chia thành p cung bằng nhau. Tiến hành tô các cung bằng k màu khác nhau ( mỗi cung được tô bằng một màu). Hai cách tô màu được coi là giống nhau nếu cách tô này sẽ thu được từ cách tô kia qua một phép quay với tâm là tâm của đường tròn. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu khác nhau? (Cách chứng minh định lí Fermat nhỏ bằng tổ hợp)

b)      Tìm tất cả các đa thức  thỏa mãn điều kiện: $P\left( x \right)=\sqrt{P\left( {{x}^{2}}+1 \right)-7}+6,\forall x\ge 0,P\left( 0 \right)=6$

Bài 3: (4 điểm)

Cho số thực . Xét dãy số  xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=a\\ x_{n+1}=1+ln\left ( \frac{x_n^2}{1+lnx_n} \right ) \end{matrix}\right.$ với n=1,2,…

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Với mỗi điểm M trong đường tròn ta gọi A’,B’,C’ lần lượt là giao điểm của AM,BM,CM với đường tròn. Tìm tập hợp các điểm M trong đường tròn thỏa mãn hệ thức sau:

$\frac{MA}{MA'}+\frac{MB}{MB'}+\frac{MC}{MC'}\le 3$

Bài 5: (4 điểm)

Cho 2 điểm cố định $A, B$ và điểm  di động trên mặt phẳng sao cho $\hat{ACB}=a \ (0<a<180)$ không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác $ABC$ xuống ba cạnh $AB,\ BC,\ CA$ lần lượt là $D,E,F$. $AI$ và $BI$ cắt $EF$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh độ dài $MN$ không đổi.
b) CM đường tròn $(DMN)$ luôn đi qua một điểm cố định.


Tìm $m$ để hệ phương trình có $3$ nghiệm phân biệt

01-10-2014 - 21:19

Tìm $m$ để hệ phương trình có $3$ nghiệm phân biệt:

$\left\{\begin{matrix} x+y=m\\ \left ( y+1 \right )x^2+xy=m\left ( x+1 \right ) \end{matrix}\right.$


$\left | \left \{ \left ( x,y \right ) \in...

01-09-2014 - 20:27

Cho $n$ là số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng:

$\left | \left \{ \left ( x,y \right )  \in \mathbb{Z}^2 \mid x^2+y^2=n \right \} \right |=4\left ( d_1\left ( n \right )-d_3\left ( n \right ) \right )$

($d_i\left ( n \right )$ là số các ước dương của $n$ đồng dư với $i$ mod $4$ )